Matematické Fórum

ExSh00t

$log_5(3-x)+log_5^2(3-x)+log_5^3(3-x)+... =\frac13$

Ako sa takýto príklad rieši? Rady viem ale vôbec nie s logaritmami...
$q=\frac{2.log_5(3-x)}{log_5(3-x)}=2$
$S=-log_5(3-x)=\frac13$
$5^\frac13=x-3$
-neviem či mam spravny postup a vlastne ma zmysel pocitat ak q nie je z $(-1;1)$

BakyX · 07. 06. 2011 20:05

↑ ExSh00t:

Aby sa ti lepšie počítalo, môžeš si spraviť substitúciu $log_5(3-x)=a$

Annnnnd

Kvocient by mel byt log 3-x o zakladu 5 ne? protoze kdyz udelas substituci tak to je a + a^2 + a^3 ..
cili q= (a^2) / a = > a

A "a" musi byt konvergentni aby existovala limita, cili |q| < 1 .. q musi byt z intervalu (-1;1)

Jenda358

↑ ExSh00t:
U výpočtu q máš chybu.
$\log_5^2(3-x) \neq 2\log_5{(3-x)}$

ExSh00t

ok
$\frac{log_5(3-x)}{1-log_5(3-x)}=\frac13$
čo teraz? asi vynasobit, fakt neviem logaritmy moc
$3log_5(3-x)=1-log_5(3-x)$
možem to sčítať?
$4log_5(3-x)=1$
a vydelit?
$log_5(3-x)=\frac14$
toto viem :D
$5^\frac14=3-x$
$x=5^\frac14-3$
nejak sa mi to nezdá

Annnnnd · 07. 06. 2011 20:40

↑ ExSh00t:my dneska neco podobneho pocitali ve skole. to log3-x o zakl. 5 musi byt v intervalu.. a to frac /13 znamena co?

ExSh00t · 07. 06. 2011 20:44

Ja viem ako sa počítaju nekonečne rady 1. neviem urobiť interval 2. neviem či som postupovla spravne ako sa s logaritmami pocita co je dovolene ci to je spravne..

Annnnnd · 07. 06. 2011 20:45

a co znamena to /frac 13 ?

MartinK · 07. 06. 2011 20:46

↑ Annnnnd: Kolega↑ ExSh00t: myslel asi

$\log_5(3-x)+\log_5^2(3-x)+\log_5^3(3-x)+... =\frac{1}{3}$

Annnnnd · 07. 06. 2011 21:00

mohu vedet vysledek? mas ho nekde?

ExSh00t · 07. 06. 2011 21:04

jop
x = 74/25; x ∈ (-2; 14/5)
=>
K = ∅

Annnnnd · 07. 06. 2011 21:09

↑ ExSh00t:ten vysledek je divnej. me vyslo x = 3 - ( 5 ^ (1/4) ) .

Cheop · 07. 06. 2011 21:11 — Editoval Cheop (07. 06. 2011 21:15)

↑ ExSh00t:
Dospěl si k tomuto:
$4\log_5(3-x)=1\\\log_5(3-x)^4=\log_5\,5$
Dostáváme rovnici:
$(3-x)^4=5$
řešením je: Stroj
$x=3-\sqrt[4] 5$
$3-x=3-3+\sqrt[4] 5=\sqrt[4] 5$
Když toto dosadíme do původní řady dostaneme:
$\log_5(\sqrt[4] 5)+\log_5^2(\sqrt[4] 5)+\cdots=\frac 13$
Dostaneme řadu:
$\frac 14+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots=\frac 13$
Součet té řady je opravdu $\frac 13$

ExSh00t · 07. 06. 2011 21:12

Mne niečo podobné, viď vyššie len nie A-B ako u teba ale B-A

Annnnnd · 07. 06. 2011 21:12

kvocient bude Log 3-x o zakladu 5. a ted vis ze |q| < 1.

Cili |Log_5 3-x | < 1 po te to uprave urcis intervaly a vis ze x bude elementem (-2; 14/5).

a ted Součet NGŘ se musi rovnat 1/3.

( (Log_5 3 -x) / (1 - Log_5 3 -x ) ) = 1/3

vysledek vyjde 3 - ( 5 ^ (1/4) ) . a to je elementem daneho intervalu.

Cheop · 07. 06. 2011 21:12

↑ Annnnnd:
Ten výsledek je dobře

Annnnnd · 07. 06. 2011 21:20

↑ Cheop:ten muj postup je takovej moc oficialni, ten tvuj je lepsi, hezky sis to upravil na ty zlomky tu radu.

ExSh00t · 07. 06. 2011 23:30

Všetko som už pochopil aj vypočítal ďalší príklad, ale tie intervaly neviem určiť..

Annnnnd · 07. 06. 2011 23:45

↑ ExSh00t:Aby řada byla konvergentni, tím pádem měla limitu musí být platit vztah |q| < 1 .. => q bude elementem intervalu (-1;1).

| log_5 3-x | < 1

cili zde si urcis krajni intervaly log_5 3-x = -1 => x = 14/5
= 1 => -2

cili interval je (-2;14/5) a 3-x > 0 cili x > 3 a interval (-2;14/5) odpovida.

standyk · 07. 06. 2011 23:49

↑ ExSh00t:

Myslíš podmienky, ktoré musia byť splnené pri súčte rady?

$|\log_{5}{(3-x)}| < 1$
Môžeš si to teda rozdeliť na 2 nerovnice
$\log_{5}{(3-x)} > -1 \color{blue} \wedge \color{black} \log_{5}{(3-x)} < 1$
$\log_{5}{(3-x)} > \log_{5}{5^{-1}} \color{blue} \wedge \color{black} \log_{5}{(3-x)} < \log_{5}{5}$
Keďže riešiš nerovnicu a základ logaritmu je väčší ako 1 môžeš v pohode odlogaritmovať:
$3-x>5^{-1} \color{blue} \wedge \color{black} 3-x<5$
$x < \frac{14}{5} \color{blue} \wedge \color{black} x > -2$
$\color{red} x \in (-2;\frac{14}{5}) \color{black}$

ExSh00t · 08. 06. 2011 00:10

Ďakujem moc, už tomu rozumiem...

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2011 20:00 — Editoval ExSh00t (07. 06. 2011 20:50)

Nekonečný rad + logaritmy

#2 07. 06. 2011 20:05

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#3 07. 06. 2011 20:14 — Editoval Annnnnd (07. 06. 2011 20:17)

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#4 07. 06. 2011 20:17 — Editoval Jenda358 (07. 06. 2011 20:17)

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#5 07. 06. 2011 20:37 — Editoval ExSh00t (07. 06. 2011 20:43)

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#6 07. 06. 2011 20:40

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#7 07. 06. 2011 20:44

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#8 07. 06. 2011 20:45

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#9 07. 06. 2011 20:46

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#10 07. 06. 2011 21:00

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#11 07. 06. 2011 21:04

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#12 07. 06. 2011 21:09

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#13 07. 06. 2011 21:11 — Editoval Cheop (07. 06. 2011 21:15)

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#14 07. 06. 2011 21:12

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#15 07. 06. 2011 21:12

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#16 07. 06. 2011 21:12

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#17 07. 06. 2011 21:20

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#18 07. 06. 2011 23:30

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#19 07. 06. 2011 23:45

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#20 07. 06. 2011 23:49

Re: Nekonečný rad + logaritmy

#21 08. 06. 2011 00:10

Re: Nekonečný rad + logaritmy

Zápatí