Matematické Fórum

Tlacenka · 28. 02. 2011 14:33

Zdravím, mam takovy mensi problem s resnim teto ulohy ...

Zadani: Dvě auta současně vyrazí na trasu dlouhou 90 km. Jejich průměrné rychlosti jsou v poměru 4 : 3. První
auto dorazí do cíle o půl hodiny dříve než druhé auto. Jaká byla průměrná rychlost rychlejšího auta ?

Vedel bych jak to vypocitat jelikoz mam na vyber z 5 moznosti vysledku tak bych to jen otrocky dosazoval a ziskaval bych tak rychlost pomalejsiho auta z ktereho bych vypocital rozdil kdy do toho cile prijeli dokud by mi to nehodilo 30 min odstup. Ale moje otazka zni jestli by nesla sestavit nejaka hezka rovnice (vlastne asi soustava dvou rovnic) prez které by to slo vypocitat a nemuselo by se to tak zdlouhave dosazovat :). Predem dekuji za reakce

mikl3 · 28. 02. 2011 14:35

↑ Tlacenka: označ si rychlosti jako $4x, 3x$ trasu znáš, čas po který to jeli taky
dvě rovnice o dvouch neznámých

Tlacenka · 28. 02. 2011 14:49

↑ mikl3: Jo super presne toto sem si potreboval uvedomit :) vyslo mi to 60km/h diky moc :)

tumik · 07. 06. 2011 23:17

$90*(\frac{1}{4x}+\frac{1}{3x})=1$
$x-0,5=y$

je to takhle spravne?

Cheop · 08. 06. 2011 07:05

↑ tumik:
To asi dobře nebude

Cheop · 08. 06. 2011 07:29 — Editoval Cheop (08. 06. 2011 10:07)

I když je téma označené jako vyřešené dám sem postup,
protože mám dojem, že to ↑ Tlacenka: moc nepochopil.
Označme:
v_1 - rychlost pomalejšího auta
v_2 - rychlost rychlejšího auta (toto máme určit)
t_1 - čas pomalejšího auta
t_2 - čas rychlejšího auta.

Ze zadaní platí:
$\color{green}v_1\,t_1=90$ (pomalejší auto ujede 90 km rychlostí v_1 za čas t_1)
$\color{blue}v_2\,t_2=90\\\color{blue}v_2=\frac{90}{t_2}$ (rychlejší auto ujede 90 km rychlostí v_2 za čas t_2)
Známe poměr rychlostí, poměr časů při stejné ujeté vzdálenosti musí být stejný tedy platí:
$\color{magenta}\frac{t_1}{t_2}=\frac 43\\\color{magenta}4t_2=3t_1\\\color{magenta}t_1=\frac{4t_2}{3}$
Dále známe rozdíl časů (30 minut = 1/2 hodiny)
$\color{red}t_1-t_2=\frac 12$ (čas pomalejšího auta bude o půl hodiny delší než rychlejšího auta)
$\color{red}\frac{4t_2}{3}-t_2=\frac 12\\\color{red}t_2=\frac 32$
Dopočteme rychlost rychlejšího auta:
$\color{blue}v_2=\frac{90}{t_2}\\\color{blue}v_2=\frac{90}{\frac{3}{2}}\\\color{blue}v_2=60\,km/h$