Matematické Fórum

tumik · 07. 06. 2011 23:43

Rovina vzdálená 2 jednotky délky od roviny 3y +4z=16 má rovnici ?

vzdalenost dvou rovin je:
$v=\frac{|ax+by+cz+d|}{|\vec{n}|}$

$2=\frac{|3y+4z-16|}{\sqrt{3^2+4^2}}$
$10=|3y+4z-16|$

ale ted nevim jak dal abych dostal tu rovnici roviny. (snad postupuju dobre)

Sulfan · 08. 06. 2011 08:40 — Editoval Sulfan (08. 06. 2011 08:41)

Nešlo by třeba jednoduššeji, že rovina, která je od ní vzdálená 2 jednotky má stejný normálový vektor a liší se jen v posledním absolutním členu (tedy o konstantu)?

Edit: jinak ten vzorec je na vzdálenost bodu od roviny, pokud se nepletu

tumik · 08. 06. 2011 09:20 — Editoval tumik (08. 06. 2011 09:21)

je mi jasny, ze roviny jsou vzajemne rovnobezne, takze budou mit stejny normalovy vektor. A urcite se budou jen lisit v poslednim clenu. Ale jak ho vypocitat? Preci nemohu od 16 odecist 2. Vyslo by ze rovina vzdalena 2 jednotky je: 3y+4z=12. A to je podle vysledku spatne ( vysledek: 3y+4z=6)

k tomu vzorci: jak jinak bys pocital vzdalenost dvou rovin? Preci v rovine si zvolime libovolny bod (dve jeho souradnice si dosadime a treti vypocitame)

Phate · 08. 06. 2011 09:29 — Editoval Phate (08. 06. 2011 09:31)

↑ tumik:
Vzdalenost dvou rovin se pocita takto:
$|\alpha \beta|=\frac{|d_{\alpha}-d_{\beta}|}{|\overrightarrow{n}|}$ , levou stranu znas, normalovy vektor take a jedno d take znas. Staci vypocitat druhe. Budou dve diky abs. hodnote.

Moabiter

↑ tumik: Výsledek budou 2 roviny. K tomu vede rovnice ke které jsi došel $10=|3y+4z-16|$ . Odstraníme absolutní hodnotu a máme 2 roviny: $10=3y+4z-16 \\ -10=3y+4z-16$

standyk

↑ tumik:

Môžeš to počítať tak ako si začal. Vyjadríš si jeden ľubovoľný bod roviny pre ktorý platí:
$3y+4z=16$
Teda napríklad bod so súradnicami:
$M[0,0,4]$
Vzdialenosť 2 rovnobežných rovín je vlastne vzdialenosť bodu ležiacom v jednej rovine od druhej roviny. Preto môžeš použiť ten vzorec ktorý si pôvodne chcel:
$d_{(M,q)}=\frac{|3y+4z+d|}{\sqrt{3^2+4^2}}$
$2=\frac{|3 \cdot 0+4 \cdot 4 +d|}{\sqrt{3^2+4^2}}$
$2=\frac{|16 + d|}{5}$
$10=| 16+d |$
Z toho dostávaš:
$d_1=\color{red}-6\color{black}$
$d_2=\color{red}-26\color{black}$