Matematické Fórum

rukay · 08. 06. 2011 11:56

Dobrý den, mám docela zapeklitý matematický problém, potřebuji pomoci vyřešit tuto logaritmickou rovnici:

log (x) 2 + log (4x) 8 = 2 * log (4x) 16

Přesně nevím ,jak to sem napsat, takže to ještě přečtu slovy: logaritmus dvou o základu x + logaritmus osmi o základu 4x = dva krát logaritmus šestnácti o základu 4x. Doufám, že je to srozumitelné, a omlouvám se, pokud jsem porušil nějaké zvyklosti fóra - jde o můj první příspěvek.

Měl jsem nějaké pokusy, ale nevedlo to k úspěchu. Dostal jsem se k: log (x) 2 = 5 * log (4x) 2 -> princip čtení je stejný jako u mého příkladu. Taky jsem pomocí logiky a typování :-( zjistil, že hledám číslo něco okolo 1,41... Ale to je tak vše.

Za každý nápad a námět budu vděčný, ale pište prosím i postup, protože často používám dost pochybné metody a v cizích řešeních se nevyznám. Děkuji

MartinK

↑ rukay:

Zdravím použiješ vzorec pro logaritmy: $\log_a(x) = \frac{\log_z(x)}{\log_z(a)}$

Za základ $z$ bude v tvém případě nejlepší zvolit číslo 2.

rukay · 08. 06. 2011 12:16

Tak já už mám řešení... napadlo mne to náhodou, zkusit odmocninu ze dvou, ale ještě potřebuji pomoci s výpočtem, protože tohle mě osobně nestačí a chci přijít na "normální" způsob jak zjistit výsledek.

MartinK

↑ rukay:

ok :) tak tedy po použití toho vzorce výše dostaneš:

$\frac{\log_2(2)}{\log_2(x)}+\frac{\log_2(8)}{\log_2(4x)}=2\cdot(\frac{\log_2(16)}{\log_2(4x)})$

čitatele upravíš a dostaneš:

$\frac{1}{\log_2(x)}+\frac{3}{\log_2(4x)}=\frac{8}{\log_2(4x)}$

Jmenovatele upravíš:

$\frac{1}{\log_2(x)}+\frac{3}{2+\log_2(x)}=\frac{8}{2+\log_2(x)}$

Zavedeš substituci za $\log_2(x)=a$

$\frac{1}{a}+\frac{3}{2+a}=\frac{8}{2+a}$

Zjistíš a a vrátíš se k substituci a vypočítáš x.

Madaax · 08. 06. 2011 12:26

log(2) 4x = log(2)4 + log(2) x = 2 + log(2) x

substituce log(2) x = a

Cheop · 08. 06. 2011 13:02

↑ rukay:
Počítal bych to takto:
$\log_x\,2+\log_{4x}\,8=2\log_{4x}\,16\\\frac{\log\,2}{\log\,x}+\frac{3\log\,2}{\log\,4x}=\frac{8\log\,2}{\log\,4x}\\\frac{\log\,2}{\log\,x}=\frac{5\log\,2}{\log\,4x}\\\log\,4x=5\log\,x\\\log\,4+\log\,x=5\log\,x\\4\log\,x=\log\,4\\\log\,x^4=\log\,4\\x^4=4\\x=\sqrt2$

MartinK · 08. 06. 2011 13:09

↑ Cheop:

Taky možnost. Řekl bych, že rychlejší. :)

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2011 11:56

Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

#2 08. 06. 2011 12:08 — Editoval MartinK (08. 06. 2011 12:15)

Re: Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

#3 08. 06. 2011 12:16

Re: Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

#4 08. 06. 2011 12:24 — Editoval MartinK (08. 06. 2011 12:30)

Re: Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

#5 08. 06. 2011 12:26

Re: Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

#6 08. 06. 2011 13:02

Re: Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

#7 08. 06. 2011 13:09

Re: Logaritmická rovnice s "neznámou v základu"

Zápatí