Matematické Fórum

llaamm · 08. 06. 2011 15:11

Mám tu jednu lahudku se kterou si nevím rady:

Kolo o poloměru 50cm vykoná 120 otáček za minutu.Jakou rychlostí se pohybuje ležící na obvodu kola?

druhá úloha: Obvod kola o průměru 50 cm se pohybuje rychlostí 20 m.s -1 . Vypočtěte kolik otáček za minutu kolo vykoná?

LukasM · 08. 06. 2011 15:18

↑ llaamm:
To není žádná lahůdka, ale naprosto standardní úloha ze začátku příslušné kapitoly v SŠ učebnicích.

U prvního nejdřív zjisti úhlovou rychlost ( $\omega$ ), tedy o jaký úhel v radiánech se kolo otočí za 1s - přijdeš na to jak ji vypočítat? Jakmile to budeš mít, najdeš si vztah mezi úhlovou a obvodovou rychlostí (ono na něj ani není těžké přijít, když si uvědomíš definici radiánu).

Druhý je to samé odzadu, tím to tady teď nemotejme.

Rumburak

V obou případech jde vlastně o tutéž úlohu - nalézt převodní vztah mezi obvodovou rychlostí $v$ a frekvencí otáčrní $f$ .
Pro začátek měřme čas v sekundách, takže $v$ bude v m/s a $f$ v 1/s .

Za dobu $t$ (v sekundách) vykoná kolo $ft$ otáček a bod X na obvodu kola dráhu $vt$ .
Když si uvědomíme dráhu bodu X připadající na jednu otáčku, snadno sestavíme převodní rovnici. Je to v podstatě
klasické trojčlenka na přímou úměrnost.

llaamm · 08. 06. 2011 15:30

↑ LukasM: Moc mi to nevychází mohla bych poprosit naky podrobnejsí postup?

rleg · 08. 06. 2011 15:52

↑ llaamm:
1 otáčka = $2\pi$

120 otáček za minutu => úhlová rychlost: $\omega=\frac{120.2\pi}{60}rad.s^{-1}$

$v=\omega.r \nl v=\frac{120.2\pi}{60}.\frac{1}{2} m.s^{-1}$

Ten druhý příklad děláš přesně naopak

found · 09. 06. 2011 10:00 — Editoval found (09. 06. 2011 10:02)

Jde o ten převod mezi obvodovou rychlostí $\overrightarrow{v}$ a úhlovou rychlostí $\omega$ .

Pamatuji si na ten hezký vztah, protože jsem si to před maturitou odvozoval. :-) Jde to dokonce dvěma způsoby, o kterých vím, někdo možná zná i další.

Jde o to, že rychlost tělesa je udána jako

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

A my víme díky kruhu a obloukové míře v radiánech, že $\Delta s = \Delta \varphi r$ , kde r je poloměr kružnice, po které se bod pohybuje. Proto teda platí, že:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\Delta \varphi r}{\Delta t} = \omega r$

Využíváme také definice úhlové rychlosti $\Delta \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$ .

Vše, co ti tedy stačí, jsou dvě z těchto tří veličin. V první příkladě máš poloměr a úhlovou rychlost Tu spočteš jako počet otočení za jednu vteřinu $f = \frac{N}{60}$ kdy N je počet otáček za minutu, jelikož máš konstantní rychlost otáčení, stačí ta dvě čísla vydělit a z frekvence, kterou jsi spočetl, už bude jednoduché spočíst úhlovou rychlost, ne? :-)

Inu a druhého příkladu máš opět dvě velčiny zadané - průměr a obvodovou rychlost. Spočteš úhlovou rychlost. Poté opět zjistíš frekvenci a vynásobíš ji 60 s, abys dostal počet otázek za minutu.

A myslím, že podrobněji už to snad ani nejde :D :-)

Jimmy