Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 07. 06. 2011 22:45

Mám odvodit vztahy pro měrnou tepelnou kapacitu ideálního plynu při konstantním tlaku $c_p$ a objemu $c_v$ a jejich vzájemný vztah. Předpokládám, že se tím myslí tohle:

$\begin{matrix} c_p - c_v &= r \\ \frac{c_p}{c_v} &= \kappa \end{matrix} \bigg\rangle \Rightarrow c_v=\frac{r}{\kappa - 1} \\ \Rightarrow c_p=\frac{r \kappa}{\kappa - 1}$ ,
kde $r$ (měrná plynová konstanta) a $\kappa$ (adiabatický moctitel neboli Poissonovo číslo) beru jako známé konstanty. Měl bych ale taky vysvětlit, jak se přišlo na ty první dva vztahy. Ten první (Mayerův) bych ještě nějak dal dohromady:

$C_p = \left( \frac{\partial H}{\partial T}\right)_p =\left( \frac{\partial (U+pV)}{\partial T}\right)_p = \left( \frac{\partial (U+nRT)}{\partial T}\right)_p =\left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_p + nR=C_v+nR$

a po vydělení rovnice hmotností:

$\frac{C_p}{m} &=\frac{C_v}{m}+\frac{nR}{m} \\ c_p &=c_v + \frac{mrM_m}{M_m m} \\ c_p &= c_v+r$ .

Nevím ale, jak je to s tou druhou rovnicí $\kappa = \frac{c_p}{c_v}$ . Není to přímo definiční vztah? Je to trošku začarovaný kruh...abych náhodou neodvodil něco, co je vlastně definice :)

zdenek1 · 07. 06. 2011 23:41

↑ FliegenderZirkus:
Ve všech knihách, které jsem na toto téma viděl, to byl definiční vztah.
Řekl bych, žes měl odvodit jen to, co jsi odvodil.

FliegenderZirkus · 07. 06. 2011 23:52

↑ zdenek1:
Výborně..nechám to tak, díky.

FliegenderZirkus · 09. 06. 2011 21:13

Zkusím ještě jeden související dotaz:

Kolikrát je větší $c_p$ dvouatomového plynu než jeho $c_v$ ?

Pro dvouatomový plyn platí $C_p = \frac72 R$ , $C_v = \frac52 R$ , a tedy $\frac{c_p}{c_v}=\frac{C_p}{C_v}=\frac75$ . Dá se říct, že tento poměr je vždy výše zmíněné číslo $\kappa$ , nebo se toto zavádí jen pro ideální plyn? A jak je to s jednotkami, není rozměrem univerzální plynové konstanty $\mathrm{\frac{J}{mol \cdot K}}$ , zatímto u tepelné kapacity $\mathrm{\frac{J}{K}}$ ?

mák · 09. 06. 2011 21:27

Narážíš na počet stupňů volnosti pohybu molekuly?

FliegenderZirkus · 09. 06. 2011 21:34

↑ FliegenderZirkus:

Už vidím chybu, ty tepelné kapacity musejí být molové: $C_{mp} = \frac72 R$ , $C_{mv} = \frac52 R$ .

↑ mák:

Ptal jsem se spíš obecně na to číslo $\kappa$ . Takhle mi totiž připadá, že ho budeme schopni určit u každého plynu, jehož složení známe, což mi připadá až moc snadné :) Ale asi to tak tedy bude..

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2011 22:45

Měrné tepelné kapacity cp, cv

#2 07. 06. 2011 23:41

Re: Měrné tepelné kapacity cp, cv

#3 07. 06. 2011 23:52

Re: Měrné tepelné kapacity cp, cv

#4 09. 06. 2011 21:13

Re: Měrné tepelné kapacity cp, cv

#5 09. 06. 2011 21:27

Re: Měrné tepelné kapacity cp, cv

#6 09. 06. 2011 21:34

Re: Měrné tepelné kapacity cp, cv

Zápatí