Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#3 09. 06. 2011 21:21
Re: Ludolfovo cislo
Ahoj. http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that … irrational
Máš tam 5 dôkazov iracionálnosti čísla "pi", ale všetky sú nad rámec strednej školy.
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#5 09. 06. 2011 21:55
Re: Ludolfovo cislo
↑ Matej1117:
Priznám sa, že sám tomu nerozumiem. Ešte nie som ani na SŠ a na ZŠ sme takúto algebru+analýzu akosi nestihli prebrať.
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#7 09. 06. 2011 22:03 — Editoval Alivendes (09. 06. 2011 22:05)
Re: Ludolfovo cislo
↑ Matej1117:
Na střední škole ti stačí nepřímý důkaz, musíš dokázat, že pí nelze zapsat jako zlomek. Protože každé racionální číslo se dá zapsat pomocí zlomku.
Volané číslo je imaginární. Otočte prosím telefon o 90 stupňů a zkuste to znovu.
Offline
#8 09. 06. 2011 22:07
- check_drummer
- Příspěvky: 4650
- Reputace: 101
Re: Ludolfovo cislo
↑ Matej1117:
You have to learn how to walk before you will learn how to run...
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#9 09. 06. 2011 22:10
Re: Ludolfovo cislo
Alivendes napsal(a):
↑ Matej1117:
Na střední škole ti stačí nepřímý důkaz, musíš dokázat, že pí nelze zapsat jako zlomek. Protože každé racionální číslo se dá zapsat pomocí zlomku.
A ako to dokazem?
Offline
#10 10. 06. 2011 00:47
Re: Ludolfovo cislo
Toto je len taká moja nočná úvaha :)
Vieme, že 
je obvod jednotkovej kružnice. Obvod kružnice sa dá veľmi približne určiť ako obvod mnohouholníka vpísaný do danej kružnice. Čim viac strán má ten mnohouholník, tým je odhad obvodu kružnice presnejší. Nech však zostrojíme mnohouholník s akýmkoľvek konečným počtom strán, vždy zostane nad jednotlivými stranami mnohouholníka malý oblúk - nikdy preto neurčíme takouto metódou obvod kružnice presne...
Tu niekde by som moju "úvahu" zastavil. Tak zjednodušene by som teda povedal, že kružnica je akoby mnohouholník s nekonečno mnoho stranami. Nedalo by sa tu niekde hľadať odpoveď na iracionalitu čísla ?
Offline
#11 10. 06. 2011 10:18 — Editoval musixx (10. 06. 2011 10:27)
Re: Ludolfovo cislo
↑ standyk: V tvé úvaze by se muselo ukázat, že limita posloupnosti obvodů těch vpisovaných pravidelných n-uhelníků existuje a je to číslo iracionální (nebo aspoň s nekonečným desetinným rozvojem).
Důkaz iracionality Pí je těžký, nespokojíme-li se s redukcí na nějaký jiný již vyřešený problém, na který se pak odvoláme. Tomu odpovídá i to, že sami matematici jej dlouho hledali: vemte v úvahu, jak douho je známé, že Pí existuje, a kdy byl teprve přinesen důkaz o jeho iracionalitě (a později i tém transcendentnosti -- viz odkaz do Wikipedie výše).
Offline
#13 10. 06. 2011 10:45
Re: Ludolfovo cislo
↑ standyk: To chce trošku opatrnosti v soudech, co je "intuitivně zřejmě" z obrázku. Máš pravdu, ale důkaz té pravdy nejde jen tak odbýt. Třeba obvod Kochovy vločky je divergentní.
Offline
#14 10. 06. 2011 10:53
Re: Ludolfovo cislo
↑ standyk:
Jen takový detail. Obvod jednotkové kružnice je 
. Na ostatních úvahách to samozřejmě nic nemění.
Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!
Offline
#15 10. 06. 2011 11:17 — Editoval standyk (10. 06. 2011 11:17)
Re: Ludolfovo cislo
↑ zdenek1:
Áno, áno, vlastne :)
↑ musixx:
Viem že je nutné to dokázať, ale nemám šajnu ako :) ...
Offline
#16 10. 06. 2011 11:39 — Editoval musixx (10. 06. 2011 11:40)
Re: Ludolfovo cislo
↑ standyk: Už v příspěvku #11 jsem psal, abyste se nepokoušeli dokazovat iracionalitu Pí přímo, bez použití nějakého jiného faktu, který je s tímto tvrzením de facto ekvivalentní.
Zkuste se zamyslet alespoň nad jeho nekonečným desetinným rozvojem. Kdyby totiž Pí mělo konečný desetinný rozvoj, řekněme p desetinných míst, pak číslo 
je celé kladné. Dal by se z toho odvodit nějaký spor (tedy pomocí toho dokázat něco, co je "zřejmě" nepravda)?
Offline
#17 10. 06. 2011 12:37
Re: Ludolfovo cislo
↑ musixx:
Příliš jsem nad tím nepřemýšlel, ale hraje tam ta konstanta 10 nějakou význačnou roli? Kdyby totiž ne, tak by (přechodem k jiné bázi) z toho šel dostat důkaz iracionality, o čemž ovšem pochybuji.
Offline
#18 10. 06. 2011 14:12 — Editoval musixx (10. 06. 2011 14:15)
Re: Ludolfovo cislo
↑ Olin: Desítka tam neměla hrát žádnou roli a myslel jsem podívat se třeba na pravidelný 10^p*Pí-uhelnik o straně délky jedna, ale nikam to nevede. Máš pravdu: pro každé racionální číslo, i kdyby nakrásnu mělo nekonečný (a proto mimochodem periodický) desetinný rozvoj v desítkové soustavě, existuje taková soustava (v nejhorším q-ová, je-li to číslo p/q), že to číslo tam má konečný desetinný rozvoj. Takže z tohoto pohledu je úloha dokázat konečný desetinný rozvoj je de facto stejně těžká jako dokázání racionality (pokud -- jak zmiňuješ -- by základ soustavy neměl nějaký speciální význam). Ani obecně by pravidelné q*Pí-úhleníky a jim kružnice opsané a vepsané nevedly k žádným "jasným" sporům s kružnicí o průměru q, kdyby Pí bylo p/q. Já jsem také netvrdil, že umím pomocí něčeho jednoduchéch dokázat, že Pí má nekonečný desetinný desítkový rozvoj, jen jsem si (mylně) myslel, že by to mohlo být jednodušší než dokázání iracionality.
Offline