Matematické Fórum

Wolframius · 06. 06. 2011 07:56

Zdravím matici,

znova som našiel možno pre vás triviálnu záležitosť, s ktorou si neviem dať rady. Ide o výpočet obsahu plochy ohraničenej kružnicou a parabolou:

$x^2+y^2=8$
$x^2=2y$

Vypočítal som hranice:
a=-2
b=2

Obrázok je tu:

Čo mi potvrdil aj http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … d+x^2%3D2y

Riešením príkladu sú: $2\pi+\frac43$ alebo $6\pi-\frac43$
__________________________________________________________________________________________________________________

Môj postup

Najprv som tento príklad rátal klasickým spôsobom:
$\int_{-2}^{2}\sqrt{8-x^2}-\frac12x^2\mathrm{d}x=\[{\frac{1}{8-x^2}${8x-\frac{x^3}{3}}$-\frac{x^3}{6}}\]=...$ výsledkom nie je $\pi$

Uvažoval som nad tým, že vypočítam obsah kruhu a odrátam obsah časti paraboly, teda výsledkom bude prienik obsahov $S=S_1 \cap S_2$ (zvolím si priamku, ktorá pretína parabolu vyššie ako kružnica tak, že y=4 (napr)). Mal by som ako pi, tak aj konkrétne číslo, ale problém je v tom, že pri výpočete obsahu kruhu nerátam s jeho pozíciou a teda by som kruhom mohol pohybovať voľne po vypočítanom obsahu časti paraboly = zle riešenie.

Napadlo ma kruh rozdeliť a teda rátať $y=2\pi$ a $x^2=2y$ . Výsledok bol prekvapujúci, ale opäť nastal problém.
$\int_{-2}^{2}2\pi-\frac12x^2\mathrm{d}x=\[2\pix-\frac{x^3}{6}\]=2\pi-\frac83$ = zlé riešenie.

Objem by som dokázal vypočítať, ten mi nerobí problém, ale nad tými výsledkymi už neviem viac vymyslieť a nechcem nad ním stráviť ďalších pár hodín.

Vopred ďakujem za radu
wolf

Cheop · 06. 06. 2011 08:08 — Editoval Cheop (06. 06. 2011 08:10)

↑ Wolframius:
$\int\sqrt{8-x^2}\ne\,\frac{1}{8-x^2}\left(8x-\frac{x^3}{3}\right)$

Wolframius

↑ Cheop:

Čo to potom je? Neintegruje sa to rovnako ako derivuje?

EDIT:
$\int\sqrt{8-x^2}=\frac{2}{3}\sqrt{(8-x^2)^3}\left(8x-\frac{x^3}{3}\right)$

Tak je to správne?

zdenek1 · 06. 06. 2011 08:27

↑ Wolframius:
Jak se počítá tento typ integrálu, je např. zde

Wolframius · 06. 06. 2011 08:34

↑ zdenek1:

Mám rátať obsah polkruhu a potom odrátať obsah časti paraboly? Alebo čo s tým mám urobiť? Alebo si mám kružnicu vyjadriť nejakek cez sínusi a kosínusi? Ja už tomu fakt nerozumiem.

Wolframius

Pomôže mi niekto alebo to mám zabaliť? Zdenek, ja nepotrebujem vypočítať obsah plkruhu, ale obsah spoločnej časti paraboli a kruhu. Obsah kruhu je $4\pi$ ale ako dopočítam obsah tej časti?

Zajtra mám skúšku a tento príklad bol na jedenom z termínov.

jelena · 07. 06. 2011 16:58

↑ Wolframius:

Dojemné...

v příspěvku 1 začátek postupu máš v pořádku - dle vzorce 3 v odkazu, i úvaha v pořádku, že výpočteš obsah obrázce pod časti půlkruhu (na intervalu od -2 do 2) a odečteš obsah obrázce pod parabolou na stejném intervalu.

Jelikož obrázec je symetrický, počítala bych za polovinu obrázce a výsledek vynásobila 2 (ale není nutné):

$2\int_{0}^{2}$\sqrt{8-x^2}-\frac12x^2$\mathrm{d}x=\ldots$

Jediný problém byl, že jsi nepočítal dobře integrál $\int_{0}^{2}$\sqrt{8-x^2}$\mathrm{d}x$ , kolega Zdeněk byl tak hodný a postup výpočtu umístil do knihovny, ovšem postupů výpočtu tohoto integrálu je více - tady jsem něco napsala.

Dosazení mezí by snad neměl být problém. Jinak je zbytečné se trapit a doporučuji použit online nástroje z úvodního tématu sekce VŠ - například

Ať se vede.

jelena · 10. 06. 2011 00:07

Přidám poslední novinku z knihovny (kolegovi Zdeňkovi děkuji za tvorbu) a téma označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2011 07:56

Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#2 06. 06. 2011 08:08 — Editoval Cheop (06. 06. 2011 08:10)

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#3 06. 06. 2011 08:12 — Editoval Wolframius (06. 06. 2011 08:27)

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#4 06. 06. 2011 08:27

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#5 06. 06. 2011 08:34

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#6 07. 06. 2011 12:30 — Editoval Wolframius (07. 06. 2011 13:47)

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#7 07. 06. 2011 16:58

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

#8 10. 06. 2011 00:07

Re: Obsah plochy ohraničenej krivkami - kružnica + parabola

Zápatí