Matematické Fórum

123login · 10. 06. 2011 06:20

Může mi někdo vysvětlist matici
$http://upload.wikimedia.org/math/e/c/a/eca8701707b6a1e3880aeb5802fe8483.png$

proč cos a sin ?
Jak odvojím osu otáčení y a z ?

Děkuji

musixx · 10. 06. 2011 10:13

Myslím, že nejvíc oceníš lehce populárně-matematické vysvětlení...

U rotací je vždy nějakým způsobem sinus a cosinus. Rotace se dají různě skládat či na nich obráceně dělat dekompozice do jakýchsi rotací "základních" (viz. třeba Eulerovy úhly). Mezi ty základní se v tomto smyslu považují právě rotace kolem souřadných os.

Osa rotace jde z obecné rotační matice získat mnoha způsoby, ale asi by stálo za to ty základní rotace znát zpaměti (tedy kolem x, y a z). Vypadají právě tak, jak jsi napsala. Kolem které osy se otáčí poznáš třeba tak, v kolikátém sloupci či řádku je jednička (buď je na pozici [1,1], pak jde o rotaci kolem x, nebo [2,2] a pak je kolem y, nebo [3,3], a pak je to rotace kolem z). Platí ještě další věci (třeba že na zbytku řádku i sloupce s jedničkou jsou už jen nuly). Zbylé čtyři pole v matici se vyplní cosiny a siny úhlu rotace. Když si představím jen ta čtyři volná pole, pak na hlavní diagonálu patří cosiny a na vedlejší siny. U jednoho sinu bude mínus, ale nebude to vždy ten "hornější". Důvod pro to je asi hlubší než má smysl vysvětlovat. Ber prostě jako fakt, že v rotaci kolem x a z je mínus u pravého horního sinu, zatímco v rotaci kolem y je to u toho druhého sinu.

Rumburak

↑ 123login:

Relativně snadno lze vyjádřit otočení v rovině.

Pokud znáš komplexní čísla, tak víš, že rovinu opatřenou kartéskou soustavou souřadnic Pxy můžeme ztotožnit s množinou
komplexních čísel: $[x, y] \equiv x+y\, \mathrm{i}$ .

Pokud znáš z teorie kompl. čísel Moivreovu větu o součinu kompl. č. v goniometrickém tvaru, tak si také snadno uvědomíš,
že otočením komlexního čísla $x+y\, \mathrm{i}$ okolo 0 o úhel $\alpha$ dostaneme kompl. číslo

(1) $(x+y\, \mathrm{i})(\cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha) = (x\cos \alpha - y\sin \alpha) + (x\sin \alpha + y\cos \alpha )\,\mathrm{i}$ .

Rovnice (1) tedy znamená, že rovinné zobrazení $f$ , které bod $[x, y]$ otočí okolo počátku o úhel $\alpha$ , můžeme vyjádřit
ve tvaru

$f([x,y]) = [x\cos \alpha - y\sin \alpha, \,x\sin \alpha + y\cos \alpha ]$ .

Když do tohoto předpisu formálně doplníme z-tovou souřadnici, dostaneme

(2) $f([x,y,z]) = [x\cos \alpha - y\sin \alpha, \,x\sin \alpha + y\cos \alpha , z]$ ,

což je nyní prostorové otočení okolo souřadnicové osy $z$ o úhel $\alpha$ . Rovnici (2) můžeme vyjádřit pomocí operací s maticemi:

$f([x,y,z])^{\mathrm{T}} = A\cdot [x,y,z]^{\mathrm{T}}$ ,

kde $[u,v,w]^{\mathrm{T}}$ je matice transponovaná k $[u,v,w]$ , konkretněji: vektor $[u,v,w]$ zapsaný ne formou "řádku", ale formou "sloupce".
Maticí $A$ pak bude přesně ta, kterou uvádíš ve svém dotazu.

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2011 06:20

Rotace souŕadnic

#2 10. 06. 2011 10:13

Re: Rotace souŕadnic

#3 10. 06. 2011 11:38 — Editoval Rumburak (13. 06. 2011 09:44)

Re: Rotace souŕadnic

Zápatí