Matematické Fórum

Lichty · 06. 06. 2011 11:43

Dobrý den,
integrály s použitím goniometrických funkcí se mi pořád pletou - trochu se zaplétám do jejich základních vztahů.
Prosím, jak vyřešit tyto příklady?

Děkuji.

rleg · 06. 06. 2011 12:47

Zdar
obojí počítej přes substituci
$tg\frac{x}{2}=t \nl dx=\frac{2}{1+t^2}dt \nl cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \nl sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

Lichty · 10. 06. 2011 11:40 — Editoval Lichty (10. 06. 2011 11:49)

Mohu se ještě jednou optat na tento příklad? Pořád mi to mým počítáním vychází jako x - ln(sinx), případně jako x + ln(cosx)

Nebo spíše jak si třeba v případě prvního příkladu zvolím substituci - vztah sinx/cosx - tgx a cosx/sinx = cotgx vím, ale v tomhle případě mi to nějak nejde do hlavy
Díky.

Lichty · 10. 06. 2011 12:34

Konkrétně pro první příklad mi Wolfram vypočítal vcelku hezký výsledek

Z postupu ovšem nepochopím, jak na to šel.

LukasM · 10. 06. 2011 12:38

↑ Lichty:
Přečti si tento příspěvek od Kondra.

Olin · 10. 06. 2011 12:46

Nebo, pokud se člověk dobře orientuje v goniometrických identitách, tak ví, že
$\operatorname{tg} \frac x2 = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ .

Cheop · 10. 06. 2011 13:01 — Editoval Cheop (10. 06. 2011 13:01)

↑ Lichty:
$\int\frac{1-\cos x}{\sin x}\,dx$
Substituce $\cos x=t\\-\sin x\,dx=dt\\dx=-\frac{dt}{\sin x}$
$\int\frac{1-\cos x}{\sin x}\,dx=-\int\frac{1-t}{\sin^2x}dt=-\int\frac{1-t}{1-t^2}dt=-\int\frac{1-t}{(1+t)(1-t)}dt=-\int\frac{dt}{1+t}=-\ln(1+t)+c=\\-\ln(1+\cos x)+c$

Alivendes

Zdravím, možná by bylo jednoduší tohle:
$\int\frac{1-cosx}{sinx}dx=\int\frac{1}{sinx}-\frac{cosx}{sinx}dx=\int csc(x) dx -\int cotg(x) dx= \nl -ln(Cotgx)+csc x-ln(sinx)+C$

Alivendes

Obdobně bych spočet ten druhý:
$\int\frac{1-sinx}{cosx}dx=\int\frac{1}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}dx=\int sec(x)dx-\int Tg(x)dx=\nl ln(Tgx)+sec(x)+ln(cosx)+C$

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2011 11:43

Integrály

#2 06. 06. 2011 12:47

Re: Integrály

#3 10. 06. 2011 11:40 — Editoval Lichty (10. 06. 2011 11:49)

Re: Integrály

#4 10. 06. 2011 12:34

Re: Integrály

#5 10. 06. 2011 12:38

Re: Integrály

#6 10. 06. 2011 12:46

Re: Integrály

#7 10. 06. 2011 13:01 — Editoval Cheop (10. 06. 2011 13:01)

Re: Integrály

#8 10. 06. 2011 16:17 — Editoval Alivendes (10. 06. 2011 16:23)

Re: Integrály

#9 10. 06. 2011 16:22 — Editoval Alivendes (10. 06. 2011 16:25)

Re: Integrály

Zápatí