Matematické Fórum

Kamik666

Zdravím mam vypočítať najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie
$f:z=2x+2y$ v ohraničenom M $x^2+y^2\leq 4$
parcialna derovacia podla x
$2=0$
podla y
$y=0$
tato sustava rovnic nema riesenie v E2
Vedel by niekto ako riesit takýto typ prikladu?

mrw · 12. 06. 2011 18:02

Čau. Nejsem si jistý, jak je to u funkcí více proměnných. Ale pokud si vezmeš jednodušší příklad
$y = 2x$
tak první derivace podle x dává 2, kde taky není x. To znamená, že funkce má konstantní derivaci (na celém R stejnou) a pořád roste se stejným sklonem. To znamená že nemá stacionární bod a nejnižší hodnotu má pro nejnižší možné x.

Ve funkci f je to myslím to samé. Nejnižší hodnota je pro nejnižší x, y.

Kamik666 · 12. 06. 2011 18:21

↑ mrw:
mam o to nejaku prednasku ale tam je priklad s $y \leq 1 - x^2 , y \geq -3$ z dola ohranicene priamkou a z hora parabolou
a do funkcie potom miesto y ktore tiez vyslo $2=0$ dosadia $1-x^2$ ale v mojom pripade neviem co tam mam dosadit

mrw · 12. 06. 2011 19:02

No já už si nepamatuju jak je správný analytický způsob jak to řešit. Ale když se podíváš na tu rovnici pro f, tak bude minimální pro minimální hodnoty x a y. Takže hledáš minima na rovnici
$x^2 + y^2 \leq 4$
což je oblast ohraničená kruhem (vnitřní oblast), takže na této rovnici hledáš minimum. Jelikož $\frac{df}{dx} = 2$ a $\frac{df}{dy} = 2$ , tak bych minimum hledal na té kružnici ve směru vektoru (-2, -2). A vyjde ti arg min f. arg max f bude zase na té kružnici ve směru (2, 2).

Kamik666 · 12. 06. 2011 19:17

↑ mrw:
nechapem tomu absolutne :(

mrw · 12. 06. 2011 20:51

No já si taky nejsem jistý, jestli to vysvětluju zrovna srozumitelně. Pokud má někdo přehlednější postup, tak bych ho uvítal.

Ta funkce bude vypadat takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nejnižší hodnoty bude nabývat při nejnižší hodnotách x, y na definičním oboru. Ten je ohraničen kružnicí, takže hledáš, kde se ve třetím kvadrantu protne kružnice $x^2 + y^2 = 4$ s přímkou $y=x$ . To proto, že tato funkce nemá globální minimum na $\mathbb{R}$ . Pokud by měla na této kružnici lokální minimum (vyšla by derivace s proměnnou), pak by jsi ho hledal pomocí toho hledání kořene a dosazování.

Kamik666 · 12. 06. 2011 21:33

↑ mrw:
graficky som to pochopil ale bez toho postupu som ajtak strateny mozno sa niekto najde kto to bude vediet

jelena · 12. 06. 2011 22:46

↑ Kamik666:

ne, že bych se našla, a také ne, že bych věděla - zkus podrobně projít kapitolu "Vázané extrémy" a obě dvě cesty vyšetřování s vazbou.

Jednu (první) vysvětluje kolega ↑ mrw:, ale moc podrobně jsem nečetla. Druhá - přes Lagrange (v odkazu není označená jako více elegantní) - na str. 119, ale bude taková zřejmá, co do standardizace postupu.

Případně se ozvi, zda se podařilo.

EDIT. děkuji za opravu dalšího tématu

tranceee

myslím si že by to mohlo být takto není to zcela hotové ale ten konec už by se nějak dát dohromady mohl ... :)

ale ted když si tak čtu komentáře tak se mi zdá, že jsem asi také mimo ( četl jsem si jen téma a opsal zadání ) ... v nejhorším tento příspěvek smažu :)

jelena · 12. 06. 2011 23:21

↑ tranceee:

Děkuji, určitě to nemaž :-) Mně se to zdá skoro v pořádku - konec (Lagrange) odpovídá tomu, co jsem si představovala, když jsem psala.

Jen drobnost - jsi našel podezřelý bod (0, 0)? - to myslím ne.

Případně se dostane dalšího komentáře.

tranceee · 12. 06. 2011 23:29

↑ jelena:

nevím proč jsem ho tam dal také (asi už mi přijde všechno podezřelé :D )... děkuji za opravu :)

Jinak tak nějak by se to mohlo počítat. Akorát jsem to počítal jako $f(x) = 2x-2y$ a ne $f: z=2x-2y$ což je asi chyba :) ale tak snad alespoň ten postup pomůže :)

Kamik666 · 13. 06. 2011 00:00

↑ tranceee:
dakujem za postup mozem ta este poprosit ako vyjadrit to x a y z rovnic ma sa to riesit ako system rovnic alebo nejako inak ?

tranceee

no pokud to je takto dobře ten postup k tvému příkladu ... tak normálně vyřeš rovnice mělo by to vyjít takto ...(pozn. $L=lambda$ ) $xL=-1$ druhá $yL=-1$ .... a pak dosadíš napřed to $x$ do té posledné rovnice $x^2 + y^2 -4 = 0$ a vyjdou ty čtyři body .... (0,2) (0,-2) a (2,0) (-2,0) ..... a ty dosadíš do té východí rovnice určíš tak ty minima a maxima ... mělo by to vyjít tak že ve dvou bodech bude maximum a ve dvou minimum ....

jelena · 13. 06. 2011 00:19

↑ tranceee:

spíš tak: $x\lambda=-1$ , odsud $x=-\frac{1}{\lambda}$ , obdobně y=... a dosadit místo x, y do $x^2 + y^2 -4 = 0$ , výsledkem jsou 2 hodnoty $\lambda$ .

Je tak? Děkuji.

tranceee

↑ jelena:

ano, opět děkuji za opravu. teď si ale nejsem vůbec jistý jak to má být ten výsledek. Kdyžtak zkuste poradit lépe :)

Kamik666

↑ tranceee:
ja som sa tam na začiatku pomýlil malo tam byt $f:z=2x+y^2$
takze ja som to riesil tako
$L\lambda(x,y)=2x+y^2+\lambda(x^2+y^2-4)$
$\frac {\partial Lx}{x}=2+2x\lambda=0=>x\lambda=-1=>-\frac1\lambda$
$\frac {\partial Ly}{y}=2y+2y\lambda=0=>2y(1+\lambda)=>y=0$
$(-\frac1\lambda)^2+0^2-4=0=>\lambda_1=-\frac12,\lambda_2=\frac12$
je to ok ?

tranceee · 13. 06. 2011 01:23

↑ Kamik666:

vypadá to dobře ... derivace podle $y$ v pořádku ( ještě lambda=1 a asi jen překlep $2+2x\lambda=0$ ) , derivace podle $x$ taky ... akorát si nejsem jistý tím dosazením, mělo by se to dosazovat postupně ... napřed dosadíme za $y=0$ a dostaneme x-ové souřadnice ( a tedy 2 body ) a pak za $x$ a měli bychom dostat y-lonové souřadnice.... potom by se měli vypočítat funkční hodnoty a podle velikosti těchto hodnot by se mělo určit glob. max. a min.

Kamik666

↑ tranceee:
takze som to dosadil a vyslo $x_1_2=2,-2$ $y_1_2 =0,0$

Kamik666 · 13. 06. 2011 01:51

↑ Kamik666:
pre vypocet funkcnej hodnoty dosadim do funkcie $z=2x+y^2$ A1,A2 to mam ale A3 A4 este musim vypocitat teda ako ?

jelena · 13. 06. 2011 09:29

Kamik666 napsal(a):
ja som sa tam na začiatku pomýlil malo tam byt $f:z=2x+y^2$

Výborně :-)

$L\lambda(x,y)=2x+y^2+\lambda(x^2+y^2-4)$
$\frac {\partial Lx}{x}=2+2x\lambda=0\\x\lambda=-1\\x=-\frac1\lambda$
$\frac {\partial Ly}{y}=2y+2y\lambda=0\\2y(1+\lambda)=0$

rovnice $2y(1+\lambda)=0$ platí pro $y=0$ (a pro libovolné $\lambda$ ) nebo $\lambda=-1$ (a pro libovolné $y$ )

Odsud máme takové kombinace výsledku a dosazování:

a) $x=-\frac1\lambda$ a zároveň $y=0$ dosazujeme:

$$-\frac1\lambda$^2+0^2-4=0\\\lambda_1=-\frac12,\lambda_2=\frac12$
Hodnoty $\lambda$ dosadíme zpět do $x=-\frac1\lambda$ a dostaneme body, u kterách bude y=0, x - vypočtené hodnoty.

b)

$\lambda=-1$ , y může být libovolné, po dosazení $\lambda$ do $x=-\frac1\lambda$ odsud $x=1$ , dosazujeme do

$1^2+y^2-4=0$ , odsud $y_{1, 2}=\pm{\sqrt{3}}$

↑ tranceee:

:-) děkuji, myslím, že se v tom celkem orientuješ, jen drobnosti jsem opravila (snad)

↑ tranceee:, ↑ Kamik666:

a teď se v tom vyznejte sami. Zdravím :-)

Kamik666 · 13. 06. 2011 10:13

↑ jelena:
myslim ze ta $\lambda$ sa do $-\frac1\lambda$ uz nema dosadzovat lebo sa ma dosadit az do 3 rovnice
tu su mmoje skripta

Code:

http://www.viewdocsonline.com/document/to6uqp

priklad 2 strana 4

jelena · 13. 06. 2011 10:34

↑ Kamik666:

Tvůj odkaz se mi nezobrazí. Můj názor - x je závislé na hodnotě "lambdy", mohu dosazovat i sem:

$$-\frac1\lambda$^2+y^2-4=0$
$$-\frac{1}{-1}$^2+y^2-4=0$

Což je totež, ovšem dosazování do $x=-\frac{1}{\lambda}$ mi příjde ve správném sledu, co do nalezení souřadnic bodů.

Jinak chtěla bych vidět toho odvažného, kdo by ještě vstoupil do takového tématu. Zdar a silu.

Kamik666 · 13. 06. 2011 10:54

↑ jelena:
tu je ten priklad

jelena · 13. 06. 2011 11:10

↑ Kamik666:

Děkuji,

řešiš soustavu rovnic - neznámé jsou $x$ , $y$ , $\lambda$ . Vyřeš to pořádně a není o čem diskutovat. Způsob řešení může být odlíšný, ale nesmí být ztrácen žádný kořen.

Pokud k výsledku dojdeš jinou cestou - nemám námitky. Pokud v postupu mám chybu - napíš, prosím, v čem je tá moje chyba.

Děkuji.

Kamik666 · 13. 06. 2011 12:03

↑ jelena:
a) $x=-\frac1\lambda$ a zároveň $y=0$ dosazujeme:

$$-\frac1\lambda$^2+0^2-4=0\\\lambda_1=-\frac12,\lambda_2=\frac12$
Hodnoty $\lambda$ dosadíme zpět do $x=-\frac1\lambda$ a dostaneme body
$x_1=2,x_2=-2$ je tak ?
a potom som som to spravil tak ze som dosadil $x1=2 ,x_2=-2$ do rovnice
$(2)^2+y^2-4=0$
$y_1=0$
$(-2)^2+y^2-4=0$
$y_2=0$
ziskam body $A_1=[2,0] ,A_2=[-2,0]$
a potom krok b
$A_3=[1,\sqrt(3],A_4=[1,-\sqrt(3)]$
a z týchto hodnôt vypocitam funkcne hodnoty a urcim min a max
mohlo by to tak byt?

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2011 16:57 — Editoval Kamik666 (12. 06. 2011 19:09)

Globalne extremy

#2 12. 06. 2011 18:02

Re: Globalne extremy

#3 12. 06. 2011 18:21

Re: Globalne extremy

#4 12. 06. 2011 19:02

Re: Globalne extremy

#5 12. 06. 2011 19:17

Re: Globalne extremy

#6 12. 06. 2011 20:51

Re: Globalne extremy

#7 12. 06. 2011 21:33

Re: Globalne extremy

#8 12. 06. 2011 22:46

Re: Globalne extremy

#9 12. 06. 2011 22:50 — Editoval tranceee (12. 06. 2011 22:53)

Re: Globalne extremy

#10 12. 06. 2011 23:21

Re: Globalne extremy

#11 12. 06. 2011 23:29

Re: Globalne extremy

#12 13. 06. 2011 00:00

Re: Globalne extremy

#13 13. 06. 2011 00:11 — Editoval tranceee (13. 06. 2011 00:46)

Re: Globalne extremy

#14 13. 06. 2011 00:19

Re: Globalne extremy

#15 13. 06. 2011 00:37 — Editoval tranceee (13. 06. 2011 00:49)

Re: Globalne extremy

#16 13. 06. 2011 01:04 — Editoval Kamik666 (13. 06. 2011 01:35)

Re: Globalne extremy

#17 13. 06. 2011 01:23

Re: Globalne extremy

#18 13. 06. 2011 01:34 — Editoval Kamik666 (13. 06. 2011 01:39)

Re: Globalne extremy

#19 13. 06. 2011 01:51

Re: Globalne extremy

#20 13. 06. 2011 09:29

Re: Globalne extremy

Kamik666 napsal(a):

#21 13. 06. 2011 10:13

Re: Globalne extremy

Code:

#22 13. 06. 2011 10:34

Re: Globalne extremy

#23 13. 06. 2011 10:54

Re: Globalne extremy

#24 13. 06. 2011 11:10

Re: Globalne extremy

#25 13. 06. 2011 12:03

Re: Globalne extremy

Zápatí