Matematické Fórum

Horci · 13. 06. 2011 09:47

Dobrý den, zítra mě čeká zkouška z matematiky, bohužel k samotnému připuštění k této zkoušce potřebuji, kromě zápočtu, i vyřešení dvou příkladů, z nichž jeden byl dosti jednoduchý, ale s druhým nepohnu ani o milimetr. A tak bych Vás chtěl poprosit, jestli by jste si někdo udělal čas a na tento příklad se mi podíval.

Příklad byl zadán takto:
Určete dimenzi a najděte bázi prostoru všech takových reálných 3 x 3 matic, pro které platí, že

a) všechny řádky, všechny sloupce a obě diagonály mají stejný společný součet

b) všechny řádky a všechny sloupce mají stejný společný součet.

Jaká bude dimenze prostoru matic obecného typu n x n v případech a) a b)?

Doufám, že se tady najde někdo, kdo na to nebude jen zírat, což je vlastně to jediné, co sem zatim při řešení tohoto příkladu dokázal já. Předem děkuji každé reakci i snaze o zdolání tohoto oříšku. Mějte se hezky a buďte s pozdravem.

Rumburak · 13. 06. 2011 09:53

Zapsal bych ty podmínky do rovnic a zkoumal ty rovnice.

Horci · 13. 06. 2011 10:03

Bohužel nechápu jak to myslíš, psal sem, že sem docela mimo.

Rumburak

↑ Horci:
Podmínku (a) chápu takto: Ke každé matici $A = [a_{i,j}]$ typu [3, 3] (z uvažovaného podprostoru) existuje číslo f(A) takové, že

- pro každé $i \in {1, 2, 3}$ je $a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} - f(A) = 0$ ,
- pro každé $j \in {1, 2, 3}$ je $a_{1,j} + a_{2,j} + a_{3,j} - f(A) = 0$ ,

dále

$a_{1,1} + a_{2,2} + a_{3,3} - f(A) = 0$ ,
$a_{1,3} + a_{2,2} + a_{3,1} - f(A) = 0$ .

Máme tedy soustavu osmi lineárních rovnic o desíti neznámých (včetně čísla f(A)). Půjde tedy o to najít dimensi prostoru řešení této soustavy,
s nímž bude podprostor našich matic isomorfní.