Matematické Fórum

eibe · 14. 06. 2011 14:32

Dobrý den, počítám stále dokola jednu derivace a nějak mi to nedává a mám podezření, že je něco špatně.
Na obrázku jsem zkoušel dva postupy, ale výsledky se neshodují. Může mi někdo prosím poradit?

zadání funkce je (x^2)/(x^2-1) ...výsledek první derivace mi vyšel (2x^4-2x^3)/(x^2-1)^2

NA OBRÁZKU JSEM UŽ ZKOUŠEL POČÍTAT DRUHOU DERIVACI Z VÝŠE UVEDENÉ FUNKCE a tam je ten problém..

u prvního pokusu počítání jsem si jmenovatel upravil podle vzorečku (a-b)^2
a u druhého pokusu,který je níže jsem to nechal původní výsledek 1.derivace.

Následně prosím, jak docílím tomu,když dám výsledek druhé derivace =0, že funkce NEMÁ inflexní body. Děkuji mnohokrát

Cheop · 14. 06. 2011 14:41 — Editoval Cheop (14. 06. 2011 14:41)

↑ eibe:
Jestli derivuješ toto:
$\frac{x^2}{x^2-1}$ tak první derivace je: $-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$ tj. už tu první derivaci máš špatně.

eibe · 14. 06. 2011 15:00

↑ Cheop:

Ano,máš pravdu,teď po kontrole mi to vyšlo přesně jak píšeš. A výsledek tedy druhé derivace bude prosím tedy jaký? pro kontrolu moji..

Rumburak

↑ eibe:

Když derivujeme podíl dvou polynomů, zvláště když je v plánu počítat derivace vyšších řádů, může být výhodné dříve provést dělení
či dokonce rozklad na parciální zlomky tam, kde to není nepřiměřeně obtížné:

$\frac{x^2}{x^2-1} = \frac{(x^2 - 1) + 1}{x^2-1} = 1 + \frac{ 1}{x^2-1}= 1 + \frac{\frac{1}{2}}{x-1} -\frac{\frac{1}{2}}{x+1}$ .

Pravá strana se pak derivuje přehledněji.

eibe · 14. 06. 2011 15:24

↑ Rumburak:

děkuji za tip,ale upřímně nejsem takhle zběhlý a už vůbec ne "chytrý" na matematiku, aby mě napadly takové možnosti, které jste napsal. Ale jistě děkuji. Výsledek druhé derivace je možno, aby vyšlo: (-12x^2+4) / (x^2+1)^2 ??

Rumburak

↑ eibe:
Všichni máme co se učit . Takže když

$f(x) := \frac{x^2}{x^2-1}= 1 + \frac{\frac{1}{2}}{x-1} -\frac{\frac{1}{2}}{x+1} = 1 + \frac{1}{2}(x-1)^{-1} - \frac{1}{2}(x+1)^{-1}$ ,

potom podle základních vět o derivacích mi vychází

$f'(x) = \frac{1}{2}(-1)(x-1)^{-2} - \frac{1}{2}(-1)(x+1)^{-2}$ ,

$f''(x) = \frac{1}{2}(-1)(-2)(x-1)^{-3} - \frac{1}{2}(-1)(-2)(x+1)^{-3}= (x-1)^{-3} - (x+1)^{-3}= ...= \frac {6x^2 + 2}{(x^2 -1)^3}$ .

EDIT.

Ke hledání inflexních bodů můžeme použít už tvar $f''(x) = (x-1)^{-3} - (x+1)^{-3}$ . Z rovnice

(1) $f''(x) = 0$

tak postupně dostáváme

$(x-1)^{-3} = (x+1)^{-3}$ ,
$x-1 = x+1$ ,
$-1 = +1$ ,

což je spor, takže rovnice (1) nemá žádný kořen a tedy funkce f nemá žádný inflexní bod.