Matematické Fórum

martanko

neviete nahodou ako sa riesia diofantovske rovnice vyssieho stupna? ja som to uz zabudol.. mam namysli rovnicu typu

$x^2+y^2=5$

a teraz ma este napadlo.. ako by sa to riesilo keby tam boli komplexne cisla
dik

Kondr · 10. 06. 2008 21:25

Obecně se netriviální kvadratické rovnice dají převést na tvar $x^2+ay^2=b$ , ty se pak řeší v okruhu $\mathbb{Q}[\sqrt{-a}]$ . Pro a záporné je to Pellova rovnice (hledej na wiki), pro a=1 jsou tím okruhem Gaussovská čísla. Kamarád o nich psal pěkný maturitní projekt:
http://penguin.jaroska.cz/~snek/pub/mat … ocisla.pdf
Pro a>1 by to bylo podobné, akorát v každém okruhu $\mathbb{Q}[\sqrt{-a}]$ jsou jiná prvočísla (souvisí to s Legendreovými symboly a tak...).

jelena · 10. 06. 2008 21:31

↑ martanko:

Zdravim :-)

Zkus projit po odkazech (jeste pro poradek - nema byt 5 na druhou?) - jazykove verze jsem vybrala s ohledem na tvuj obor :-)

http://matematika.havrlant.net/forum/vi … .php?id=39

http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel

http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

http://ilib.mirror1.mccme.ru/plm/djvu/v … ctory.djvu

Ohledne komplexnich cisel ?? - mam za to, ze pokud je to Diofantova rovnice (i pro vyssi mocninu), tak by mela byt resena pouze na mnozine celych cisel.

martanko · 10. 06. 2008 22:30

↑ Kondr:
uuf.. my sme najskor zacali s obycajnymi diofantovskymi rovnicami ako napr $17x+9y=111$ a potom sme roboli aj s mocninami.. nieco si spominam ze stacilo pri obycajnych zistit spolocneho delitela aby si vedel ci to vobec ma riesenie.. a potom si za pomoci parametru vyjadril vsetky riesenia.. tie kavadraticke sme vobec nerobili cez okruhy a pod. mali sme iba obycajne poznatky zo strednej skoly a bolo to v zimnom semestri hned prvom.. cize ziadne hlbsie poznatky z algebry sme nemali.. nedalo by sa to nejak?

↑ jelena:
dik moc :) mocnina tam nemala byt :)

Kondr · 10. 06. 2008 23:40

↑ martanko:Záleží na tom, jak širokou třídu rovnic se chceš naučit řešit. Pokud ti jde o rovnice typu
$a^2+b^2=c^2$
tak se vyplatí pamtovat si vzorec pro Pythagorejskou trojici:
a=k(m^2-n^2),
b=2kmn,
c=k(m^2+n^2),
ke kterýmžto vzorcům se dá dojít běžnou středoškolskou matikou: největší spol. dělitel a,b,c označme k, a/k=a', b/k=b', c/k=c', z dané rovnice vydělením k^2 a úpravou
c'^2-b'^2=a^2
(c'-b')(c'+b')=a^2 Z nesoudělnosti a',b' je jedno z nich liché, řekněme, že to je a'. Pak (c'-b') i (c'+b') jsou liché, jejich největší společný dělitel je lichý a dělí 2b' (rozdíl závorek) i 2c' (součet závorek), proto je roven 1. Součin dvou nesoudělných čísel je čtverec, pokud každé z nich je čtverec,
c'-b'=p^2
c'+b'=q^2
c'=(p^2+q^2)/2
b'=(q^2-p^2)/2
Výsledku se dobereme substitucí q=m+n,q=m-n, kterou můžeme vzhledem ke stejné paritě p,q provést.

Pokud se má součet čtverců (případně s kladnými koeficienty) rovnat celému číslu, vždy funguje (pro rozumné hodnoty toho čísla velmi rychle), pokus-omyl. Pokud má ale některý ze čtverců záporný koeficient a nejde použít nějaký pěkný rozklad typu a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b), je třeba použít Pellovu rovnici.

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2008 20:28 — Editoval martanko (10. 06. 2008 20:29)

diofantovske rovnice

#2 10. 06. 2008 21:25

Re: diofantovske rovnice

#3 10. 06. 2008 21:31

Re: diofantovske rovnice

#4 10. 06. 2008 22:30

Re: diofantovske rovnice

#5 10. 06. 2008 23:40

Re: diofantovske rovnice

Zápatí