Matematické Fórum

Mirgeee · 14. 06. 2011 19:42

Dobrý den, nevím si rady s následující úlohou:
Kolik existuje přirozených císel n (1 ≦ n ≦ 100) takových, že n^n je druhá mocnina nějakého celého čísla?
Jedná se o úlohu za 5 bodů z letošního Klokana kategorie Junior.
Díky za jakoukoliv radu

found · 14. 06. 2011 19:57 — Editoval found (14. 06. 2011 20:00)

Já bych možná sáhl do toho, že to budou sudá čísla.

$a^2 = n^n \nl a = n^{\frac{n}{2}} \nl$

$\left(n^k\right)^2$ kdy platí, že $k = \frac{n}{2}$ , a proto $n^{2k}$

$a^2 = n^{2k} \nl a = n^k$

Ale možná je to blbost, kdo ví.

BakyX · 14. 06. 2011 20:05 — Editoval BakyX (14. 06. 2011 20:07)

↑ found:

Nie je to úplne tak, ako hovoríš. Zadaniu vyhovujú všetky párne čísla + všetky nepárne čísla, ktoré sú štvorcami - tj. ich druhá odmocnina je prirodzené číslo.

Riešením nerovnice:

$1 \le (2k+1)^2 \le 100$

Nie je problém zistiť, koľko takých nepárnych čísel "n" existuje (n=2k+1)

EDIT: A v podstate sa ten počet dá odhadnúť, keďže som si nevšimol, že tam je 100 a nie 1000 :D

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2011 19:42

Klokánek - Junior

#2 14. 06. 2011 19:57 — Editoval found (14. 06. 2011 20:00)

Re: Klokánek - Junior

#3 14. 06. 2011 20:05 — Editoval BakyX (14. 06. 2011 20:07)

Re: Klokánek - Junior

Zápatí