Matematické Fórum

found · 15. 06. 2011 00:14

Zdravím,

Potřeboval bych si nějak ověřit, zda jsou mé "tahy správné, popřípadě pomoci s druhou částí, kterou jsem skryl, aby nebyl příspěvek dlouhý jak Brno.

Jsem si tak nějak "hrál" a zkoušel vyjádřit obecně dva body, které vzniknou, když obecná přímka protne kružnici se středem v počátku a poloměrem r. Nejdříve jsem si napsal rovnice obou množin bodů:
$p: ax + by + c = 0 \nl k: x^2 + y^2 = r^2$

Poté jsem si vyjádřil jednu proměnnou z přímky...
$y = -\frac{ax+c}{b}$

...a dosadil ji do rovnice kružnice:
$x^2 + \left(-\frac{ax+c}{b}\right)^2 = r^2 \nl x^2 + \left(\frac{ax+c}{b}\right)^2 = r^2 \nl x^2 + \frac{(ax)^2+2acx+c^2}{b^2} = r^2 \nl \underbrace{(a^2 + b^2)}_{A}x^2 + \underbrace{2ac}_{B}x +\underbrace{c^2 - (br)^2}_{C} = 0$

Dostal jsem kvadratickou rovnici, jejíž diskriminant jsem si vyjádřil.
$D = 4(ac)^2 - 4(a^2+b^2)\left(c^2-\left(br\right)^2\right) \nl D = 4\left[ \left(ac\right)^2 - \left( \left(ac\right)^2 - (abr)^2 + (bc)^2 - b^2(br)^2 \right)\right] \nl D = 4\left( \left(br\right)^2(a^2+b^2) - (bc)^2 \right) \nl D = 4b^2\left( r^2\left(a^2+b^2\right)-c^2\right)$

Určil jsem si podmínku, která musí platit, aby daná přímka byla sečnou kružnice:
$4b^2\left( r^2\left(a^2+b^2\right)-c^2\right) > 0 \nl 4b^2\left( \left(ra\right)^2 + (rb)^2 - c^2 \right) > 0 \nl \sqrt{a^2 + b^2} > \frac{c}{r}$

Víc jsem z podmínek nevyždímal.
Nyní bych si dosadil do vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice:
$x_1 = \frac{-2ac-\sqrt{4b^2\left( r^2\left(a^2+b^2\right)-c^2\right)}}{2(a^2+b^2)} = \frac{-2ac-2b\sqrt{\left( r^2\left(a^2+b^2\right)-c^2\right)}}{2(a^2+b^2)} \nl x_1 = -\frac{ac+b\sqrt{\left( \left(ra\right)^2 + (rb)^2-c^2\right)}}{a^2+b^2}$
$x_2 = \frac{-2ac+\sqrt{4b^2\left( r^2\left(a^2+b^2\right)-c^2\right)}}{2(a^2+b^2)} = \frac{-2ac+2b\sqrt{\left( r^2\left(a^2+b^2\right)-c^2\right)}}{2(a^2+b^2)} \nl x_2= -\frac{ac-b\sqrt{\left( \left(ra\right)^2 + (rb)^2-c^2\right)}}{a^2+b^2}$

A tady jsem tak nějak skončil, protože už nevím, jak to upravit, aby to vypadalo "lépe". Vzdal jsem se naděje, že bych získal nějak hezky souřadnice y pro tyto dva body.

Popřípadě tu mám ještě obdobnou verzi, ale pro kružnici se středem v libovolném bodě, tam už ale nevím ani jak upravit diskriminant... to dávám skrytě. :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A pokud bych měl někde chybu, byl bych rád za opravení. :-)
Jimmy

Annnnnd · 15. 06. 2011 00:17

↑ found:Abych pravdu řekl, než by si do takovychto vzorcu dosadil, byl by druhy den. nejrychlejsi reseni je vyjadrit z primky parametr a dosadit do rovnice kruznice.

found · 15. 06. 2011 00:19

↑ Annnnnd:

Já vím, chtěl jsem to jen zkusit. :-)

Jinak parametrem se myslí co?

Annnnnd · 15. 06. 2011 00:43

↑ found:to sem myslel x nebo y :)

found · 15. 06. 2011 02:56

↑ Annnnnd:

To jsem udělal... :)

MartinK

↑ found:

Zdravím,

tak jsem trošku přemýšlel nad tvojí úvahou a dospěl jsem k závěru, pokud máš tu přímku procházející kružnicí jakoukoliv, tak to prostě nejde dostat nějakej smysluplnej vzorec pro souřadnice průniků. Něco jinýho by bylo, kdybys měl přímku procházející počátkem soustavy souřadnic. Tam ten vzorec vypadá už lépe. Ale myslim si, že zrovna na takovouto situaci skoro nikdy nenarazíš. :)

Ale tak proč ne. Je vidět, že tě matematika baví a to se cení. :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jen pro doplnění tvého zkoumání. :)

found · 15. 06. 2011 12:30

↑ MartinK:

To je pro přímku procházející počátkem soustavy souřadnic a kružnici se středem v počátku?

MartinK · 15. 06. 2011 12:38

↑ found:

Jo.

Cheop · 15. 06. 2011 12:41

↑ found:
Ano to je pro přímku s rovnicí: $ax+by=0$ a kružnici s rovnicí: $x^2+y^2=r^2$

found · 15. 06. 2011 12:51

↑ MartinK:

To znamená, že by šla spočíst i délka tětivy vceklu snadno (respektive vyjádřit). I když zrovna délka tětivy tady se ani počítat nemusí, ale jde to. :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Potvrzeno, díky ti. :)

Asi už to tu označím za uzavřené, alespoň nějaké odpovědi jsem dostal, za což jsem rád. :-)

MartinK · 15. 06. 2011 12:57

↑ found:

Pěkné. :)

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2011 00:14

Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#2 15. 06. 2011 00:17

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#3 15. 06. 2011 00:19

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#4 15. 06. 2011 00:43

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#5 15. 06. 2011 02:56

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#6 15. 06. 2011 11:13 — Editoval MartinK (15. 06. 2011 11:57)

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#7 15. 06. 2011 12:30

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#8 15. 06. 2011 12:38

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#9 15. 06. 2011 12:41

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#10 15. 06. 2011 12:51

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

#11 15. 06. 2011 12:57

Re: Obecné vyjádření v analytické geometrii.

Zápatí