Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Potřebuju důkaz, že ze slabé konvergence a konvergence norem plyne silná konvergence, tj. konvergence v normě.
Přesněji: Máme X Banachův postor s normou || . ||, X* jeho duál, x_n posloupnost prvků z X slabě konvergujících k x z X, tj. f(x_n) -> f(x) pro každé f z X*, a zároveň konvergujících v normě, tj. ||x_n|| -> ||x||. Chci z toho vyvodit, že ||x_n - x|| -> 0.
Děkuji za radu.
Offline
↑ Arty:
Konvergenece norem prvků ještě neznamená konvergenci těch prvků, teď myslím silnou, klasickou konvergenci, jiným názvem konvergenci v normě. Vem si třeba v R^2 posloupnot vektorů x_n = (1,1 + 1/n) a vektor x = (-1,-1) a uvažujme třeba součtovou normu, tj ||x|| := |x1| + |x2|. Platí: ||x_n|| je 2 + 1/n, ||x|| = 2. Takže normy těch x_n zjevně konvergují k normě x. Ale ani zdaleka neplatí, že x_n konvergují k x. Vžďyť ||x_n - x|| = |1 - (-1)| + |1 + 1/n - (-1)| > 4 pro všechna n.
Další věc: Když v tom tvém nápadu uděláš limitní přechod a pak odečteš od obou stran normu x, dostaneš 0 <= lim ||x_n - x||. Z toho neplyne, že ta limita je rovna nule. Je to jen informace, že ta limita je nezáporná, což není ani žádný převratný výledek. Norma je totiž vždy nezáporná, takže taková musí být i limata nějakých norem, pokud tedy tato limita existuje.
Offline