Matematické Fórum

stuz · 16. 06. 2011 11:35 — Editoval stuz (16. 06. 2011 11:38)

Zdravím, na zkoušce se objevil takovýto příklad:
Určete moment setrvačnosti půlkružnice o poloměru R, neotáží se podle osy x, ale podle osy y. Potřeboval bych to vyřešit obecně.
Jediné co vím, doufám že správně ;), tak se asi musí vycházet z těžiště půlkružnice a pak nějak obecně dojít k momentu setrvačnosti.
Doufám že se někdo najde ;)

zdenek1 · 16. 06. 2011 12:58

↑ stuz:
Takhle se to otáčí?

stuz · 16. 06. 2011 13:12 — Editoval stuz (16. 06. 2011 13:13)

↑ zdenek1:
ano přesně takhle, kde vlastně osa rotace=osa y osa x je jakoby spojnicí obou konců půlkružnice. Průsečík osy x a osy y je 0

zdenek1 · 16. 06. 2011 13:36

↑ stuz:

Půlkružnice má poloměr $r$ a hmotnost $m$ .
Délková hustota $\tau=\frac m{\pi r}$
moment setrvačnosti elementu $\text dm=\tau\text dl$ je
$\text dJ=x^2\text dm$
Protože $l=\varphi r$ , je $\text dl=r\text d\varphi$
také $x=r\cos\varphi$

Takže vzhledem k symetrii
$J=2\int\limits_0^{\frac\pi2}r^2\cos^2\varphi\tau r\ \text d\varphi=2\tau r^3\int\limits_0^{\frac\pi2}\cos^2\varphi\ \text d\varphi$

dopočítáš.
tady je (kdyby bylo potřeba) výpočet toho integrálu

stuz · 16. 06. 2011 14:03

↑ zdenek1:
Díky moc,
A ještě kdyby bylo zadáno to samé zadání , ale vzhledem k ose procházející těžištěm, kolmo na rovinu obruče?
Tak bych jakoby místo r co máš nakreslené v obrázku jako poloměr dosadil souřadnici těžiště půlkružnice? a postup by byl stejný?

zdenek1 · 16. 06. 2011 17:21

↑ stuz:
To ne. V prvním příkladě je poloměr konstatntní, takže ho můžu vytknout před integrál. V druhém případě nebude vzdálenost "tžiště - obvod" konstantní.

Spočítáš moment ke středu půlkružnice - to je $J=mr^2$ a pak podle Steinerovy věty
dopočítáš k těžišti.

Nejdřív samozřejmě musíš zjistit, kde to těžiště je.

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2011 11:35 — Editoval stuz (16. 06. 2011 11:38)

Moment půlkružnice

#2 16. 06. 2011 12:58

Re: Moment půlkružnice

#3 16. 06. 2011 13:12 — Editoval stuz (16. 06. 2011 13:13)

Re: Moment půlkružnice

#4 16. 06. 2011 13:36

Re: Moment půlkružnice

#5 16. 06. 2011 14:03

Re: Moment půlkružnice

#6 16. 06. 2011 17:21

Re: Moment půlkružnice

Zápatí