Matematické Fórum

drabi · 13. 06. 2011 22:24

Ahoj, potřebuju pomoct s tímto příkladem:

vůbec totiž netuším, jak to mám dokázat.
Jediné, co mě napadá je, že pokud $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty$ , pak půjde srovnat s nějakou mocninou $n$

Děkuju mockrát předem za vás čas

drabi · 13. 06. 2011 22:31

↑ halogan:
tak o $\sum \frac{1}{n}$ vím, že diverguje
no souvislost moc nevidím, protože srovnávací ani limitní srovnávací kritérium mi nejspíš nepomůže, nebo se mýlím?

halogan · 13. 06. 2011 22:33

(Omlouvám se za smazání příspěvku, neměl jsem to úplně promyšlené.)

hlupačik

Marian · 16. 06. 2011 15:06 — Editoval Marian (16. 06. 2011 15:34)

↑ hlupačik:
Formulace typu "Dá se dokázat, že ..." by mi v úloze takto zadaného úkolu velmi překážela. Jedná se mi o fakt s vlastností funkce kosinus se čtveřicí po sobě jdoucích přirozených čísel v jejich argumentu.

Domnívám se, že přirozenější je postupovat takto:

(1) Dokážeme nejprve divergenci řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^2(n)}{n},$

což je velmi sandé, neboť její $N$ -tý parciální součet lze transformovat na tvar

$\sum_{n=1}^{N}\frac{\cos ^2(n)}{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1+\cos (2n)}{2n}=\frac{1}{2}\left (\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{N}\frac{\cos (2n)}{n}\right ).$

První sčítanec za posledním rovnítkem (vynechávám multiplikativní 1/2) je $n$ -té harmonické číslo. Je známo, že harmonická řada diverguje (stačí k tomu použít nutnou a postačující podmínku konvergence nekonečné řady Bolzanova-Cauchyova typu nebo tzv. Diniho větu o vlastnostech divergentních řad a jejich důsledcích - obojí funguje podobně; použití integrálního kritéria je možné, ale pokud to situace dovoluje volím raději elementární techniku).

Nyní stačí ukázat konvergenci nekonečné řady s parciálním součtem

$\sum_{n=1}^{N}\frac{\cos (2n)}{n}.$

To je ale snadné, neboť to ihned plyne z Dirichletova kritéria pro nekonečné řady reálných čísel typu $\sum\alpha_n\beta_n$ , kde pokládáme $\alpha_n=1/n$ a $\beta_n=\cos (2n)$ . Posloupnost $\{\alpha_n\} =\{1/n\}$ je klesající nulová posloupnost a součet

$\sum_{n=1}^{N}\beta_n=\sum_{n=1}^{\infty}\cos (2n)$

má omezené součty. To se dokáže třeba z Moivrovy věty o umocňování komplexního čísla. Dokonce, úplnou indukcí lze ukázat identitu

$\sum_{n=1}^{N}\cos (2n)=\frac{\sin (N)\cos (N+1)}{\sin (1)}.$

(2) Z výše uvedených faktů plyne divergence řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^2(n)}{n}.$

To, že diverguje i zadaná řada obsahující faktor $a_n$ , je již snadné nahlédnout. Dle zadání totiž platí $0<a_1$ , tedy existuje jistě jistě číslo $\alpha$ s vlastností $0<\alpha <a_1$ . Vzhledem k tomu, že posloupnost $\{ a_n\}$ je rostoucí, musí platit nerovnost

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n\cdot\cos ^2(n)}{n}\ge\alpha\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^2(n)}{n}=+\infty .$

Odtud divergence původní nekonečné řady.

__________
V souvislosti s touto úlohou chci upozornit na to, že je dokonce možno přesně určit součet řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos (2n)}{n}.$

Stačí k tomu několik základních vlastností elementárních funkcí komplexní proměnné. Platí totiž identita

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos (2n)}{n}=\ln\left (\frac{1}{2\cdot\sin (1)}\right ).$