Matematické Fórum

Kei · 16. 06. 2011 15:50

Snažím se spočítat následující příklad, ale jelikož jsem matematiku už dlouho neviděla mám značné mezery. Budu vděčná za jakoukoli pomoc (jen prosím o "polopatistické" vysvětlení).

Vypočítat se má imaginární část komplexního čísla.

z=(-1+i)^ 15

Vyjít to má 2^-7

standyk · 16. 06. 2011 15:53

↑ Kei:

Prvý dôležitý krok je úprava na goniometrický tvar:
$z=|z|\cdot (\cos{\varphi}+i \cdot \sin{\varphi})$

Vieš spraviť tento krok??

Kei · 16. 06. 2011 16:02 — Editoval Kei (16. 06. 2011 16:05)

↑ standyk:
Převádění na goniometrický tvar se mi většinou podaří, mělo by to být i po umocnění sqrt2^15*(cos15*3/4π+i sin 15*3/4π)

Největší kámen úrazu jsou v tomhle pro mě operace se sinem a cosinem, takže nevím co s tím dál (za předpokladu že to mám vůbec dobře).

standyk

↑ Kei:

Áno správne:
$z=(\sqrt2)^{15} \cdot $\cos{\frac{15 \cdot 3}{4}}+i \cdot \sin{\frac{15 \cdot 3}{4}}$$
$z=(\sqrt2)^{15} \cdot $\cos{\frac{45}{4}}+i \cdot \sin{\frac{45}{4}}$$

Goniometrické funkcie $\sin$ a $\cos$ majú periódu $2 \pi$ preto tie zlomky môžeme upraviť nasledovne:
$z=(\sqrt2)^{15} \cdot \[cos${\color{red}\frac{40}{4}\pi\color{black} + \frac{5}{4}\pi}$+i \cdot \sin${\color{red}\frac{40}{4}\pi \color{black}+ \frac{5}{4}\pi}$\]$
To čo je označené červenou je tá perióda $2\pi$ - násobok dvojky.Preto to môžeme vynechať, lebo výsledok to nezmení. Preto:
$z=(\sqrt2)^{15} \cdot $\cos{\frac{5}{4}\pi} +i \cdot \sin{\frac{5}{4}\pi}$$

Teraz preveď to posledné vyjadrenie späť na algebraický tvar aby si mohla určiť imaginárnu časť tohto komplexného čísla.

Kei · 16. 06. 2011 16:18

↑ standyk:
Děkuju hrozně moc, konečně mi to došlo :)

ET · 17. 06. 2011 14:01

↑ standyk: když chceme vypočítat reálnou a imaginární část čísla vychází to v záporné hodnotě, když je to ve 3. kvadrantu?

standyk · 17. 06. 2011 14:04

↑ ET:

V treťom kvadrante je aj $sin$ aj $cos$ záporný, takže áno.

ET · 17. 06. 2011 14:19

↑ standyk: protože jsem počítala (odmocnina ze 2/2 - i odmocnina ze 2/2)ˇ49
při výpočtu 3pí/4 x 45 = pí/4 a nebo 5pí/4 ?
kdyby to bylo 5pí/4 tak by to byl 3.kvadrant kde je sin i cos záporný, ale reálná část má vyjít kladná (odmonina ze 2/2)
Poradil by jsi mi prosím?

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2011 15:50

Komplexní čísla-moivreova věta

#2 16. 06. 2011 15:53

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

#3 16. 06. 2011 16:02 — Editoval Kei (16. 06. 2011 16:05)

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

#4 16. 06. 2011 16:14 — Editoval standyk (16. 06. 2011 16:17)

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

#5 16. 06. 2011 16:18

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

#6 17. 06. 2011 14:01

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

#7 17. 06. 2011 14:04

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

#8 17. 06. 2011 14:19

Re: Komplexní čísla-moivreova věta

Zápatí