Matematické Fórum

↑ Lord Boos:

Něco takového vidím poprvé, ale myslím, že toto je ono zamýšlené řešení:

Skrytý text:

0) konstatuje se, že fce je spojitá na reálné přímce (spojitost součinu, rozdílu, podílu, složené funkce)
1) najdou se všechny kořeny funkce f(x)
2) tyto kořeny nám dělí reálnou osu na několik (otevřených) intervalů; pro každé dva body x,y z nějakého takového intervalu platí podle Bolz.V.: pokud by byla f(x)f(y)<0 (tj sgn(f(x))=-sgn(f(y)) ), pak by mezi nimi musí ležet bod c takový, že f(c)=0 (již jsme ověřili, že f je spojitá na R, tedy i na [x,y]); ovšem protože jsme daný interval položili mezi dvěma po sobě jdoucími (tj. není mezi nimi žádný další kořen f) kořeny funkce f, žádný takový bod c se na žádném z těchto intervalů nenalézá, tedy funkce je na každém takovém intervalu buď všude kladná, nebo všude záporná
3) dosazením libovolného čísla z každého intervalu ověříme, zda je na daném intervalu funkce kladná, nebo záporná; výsledek je sjednocení těch intervalů, na nichž je fce f záporná.

↑ Lord Boos:

Ano, přesně tak. ; ))

pozn:

k oněm "nulovým bodům" musíme v obecném případě ze zřejmých důvodů přidat i body nespojitosti - lze to demonstrovat např. na jednoduché funkci a zdůvodnit tak, že kdyby nějaký z námi uvažovaných intervalů obsahoval bod nespojitosti, neplatí předpoklad Bolzanovy věty, tedy nemusí platit ani závěr, ovšem pokud takový interval "podrozdělíme" podle bodů nespojitosti, dostaneme intervaly, na nichž už je funkce spojitá a můžeme Bolzanovy věty užít.

↑ Lord Boos:

ano (není definovaná a nebo jenom není spojitá - třeba kdybych funci 1/x dodefinoval v nule f(0):=4, pak stále musím uvažovat rozdělení na intervaly (-infty,0), (0,infty))

↑ Lord Boos:

EDIT: vloudila se chyba, která nic nemění na podstatě příkladu, ale dost změní výsledek: Přehlédl jsem, že arcsin (x/7) (a tedy i celá f(x)) je definován jen pro x z intervalu [-7,7]. V dalším postupu se nic nemění, jenom výsledek není (2,infty), ale (2,7]. Tak to se omlouvám. ; ))