Matematické Fórum

Miki314

Ahoj, potřebuju poradit se 2 příkladama..

1. - Máme zadány 2 přímky, jedna určená bodem M a vektorem a, druhá určená bodem B a vektorem b.

M = (1,2,3); vektor a = (1,1,1), bod B = (1,1,111), vektor b = (0,1,1);

Určete přímky p, které -
a) p se protíná s přímkou a pod úhlem 90 stupňů v bode M = (1,2,3)
b) p svírá s přímkou b úhel 60 stupňů.

Řešení - postupoval jsem tak, že když se p protíná s a pod úhlem 90 stupňů, tak si udělám rovnici, kdy cos 90 = v čitateli absolutní hodnota p1 + p2 + p3, jmenovatel odmocnina ze 3 * odmocnina z p1 na druhou + p2 na druhou + p3 na druhou. A druhá rovnice 1/2 = v čitateli absol. hodnota p2 + p3, jmenovatel odmocnina ze 2 * odmocnina z p1 na druhou + p2 na druhou + p3 na druhou. Vyřešil jsem tyto 2 soustavy a dosadil do 3. soustavy, která zněla odmocnina ze 2 * = odmocnina z p1 na druhou + p2 na druhou + p3 na druhou. Vyřešil jsem a dostal jsem hodnoty směrového vektoru přímky p. No a jelikož se p protíná s a v bodě M, tak M je i bod přímky p i a, takže přímka p je určená bodem M a vektorem p1, p2, p3. Je tento postup správný??

A druhý přiklad - Máme dánu kuželosečku obecnou rovnicí 4xy - y^2 - 2x - 1 = 0. Určete odchylku asymptot, v němž leží bod M = (2,0).

Řešení - vypočítal jsem si velký a malý diskriminant, z něhož vím, že se jedná o hyperbolu, no a dál absolutně netuším..

Děkuji za případné rady.. Tomáš

Rumburak

Ad 1.

Tvůj popis postupu mi nepřitadá příliš srozumitelný, mnoho se v něm píše (a ne vždy přesně) o rovnicích a jednotlivých výrazech,
ale není mi z toho jasná matematická idea takového postupu.

Zřejmě je výhodné hledat přímku v parametickém tvaru. Víme o ní, že prochází daným bodem M , takže už jen zbývá
určit její směrový vektor $\vec{c} = (u, v, w)$ a parametrickou rovnici pak již snadno sestavíme.
Dle zadání úlohy by o vektoru $\vec{c}$ mělo platit:

(I) je kolmý k vektoru $\vec{a}= (1,1,1)$ , což znamená, že $\vec{a}\,\vec{c}= u + v + w = 0$ ,

(II) svírá 60 st. s vektorem $\vec{b}= (0,1,1)$ , což znamená, že

$\frac{|\vec{b}\,\vec{c}|}{||\vec{b}||\cdot||\vec{c}||}= \cos \frac{\pi}{3} = \frac {1}{2}$ ,

i toto rozepíšeme pomocí souřadnic . Obdržíme tak soustavu dvou rovnic o třech neznámých.
Připojíme ještě podmínku $||\vec{c}|| = 1$ , tím se rovnice plynoucí z (II) zjednoduší a řešení pak vyjde téměř jednoznačně (až na koeficient (-1)).

Ad. 2 . Urči asymptoty.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT 3 . K nalezení aymptot hyperboly můžeme použít následující větu:

Přímka o parametrických rovnicích x = x(t) , y = y(t) je asymptotou hyperboly o rovnici H(x,y) = 0, právě když rovnice
H(x(t),y(t)) = 0 s neznámou t nemá řešení reálné ani imaginární (tj. alg. úpravou z ní odvodíme spor - např. tvaru 1 = 0).

Příště si ke každé úloze založ zvláštní téma.

Miki314 · 17. 06. 2011 18:08

↑ Rumburak:

Já právě tmu nerozumím, jak určit ty asymptoty... Protože když mám teda tu rovnici, tak z ní určím velký a malý diskriminant a tím jsem skončil, nevím jak dál určit ty asymptoty...

Rumburak

↑ Miki314:
Tak k těm asymptotám:
Aspoň jedna z nich bude různoběžná s osou y , takže bude možno popsat ji rovnicí ve směrnicovém tvaru .

(0) $y = ax + b$ .

Na (0) lze pohlížet jako na parametrické vyjádření $x = t, \,\,\,y = at + b$ , tudíž nic nám nebrání použít větu uvedenou v ↑ Rumburak: .

Zkoumáme tedy rovnici

(1) $4t(at + b) - (at + b)^2 - 2t - 1 = 0$ ,

s neznámou t , z níž úpravami postupně obdržíme

$4at^2 + 4bt - a^2x^2 -2abt - b^2 - 2t - 1 = 0$ ,
$4at^2 - a^2t^2 + 4bt -2abt - 2t - b^2 - 1 = 0$ ,
(2) $(4a - a^2)t^2 + 2(2b -ab - 1)t - b^2 - 1 = 0$ .

Aby byla splněna podmínka věty, nesmí mít rovnice (1) a tedy ani (2) žádné řešení, a to ani imaginární. Takže: na levé straně v (2) musí být
(v proměnné t) polynom stupně 0, tedy musí být splněna soustava rovnic $4a - a^2 = 0,\,\,\, 2b -ab - 1=0$ . Ta má dvě řešení:

I. $a = 0, \,b = \frac {1}{2}$ resp. II. $a = 4, \,b = -\frac {1}{2}$ .

Jestliže libovolné z nich dosadíme do (2), dostaneme $0x^2 + 0x - \left(\frac {1}{2}\right)^2 - 1 = 0$ , resp. $0x^2 + 0x - \left(-\frac {1}{2}\right)^2 - 1 = 0$ ,
což v obou případech dá $-\frac{5}{4}= 0$ , tedy spor, takže taková rovnice (2) a tedy ani (1) pak nebude řešitelná, a to ani v komplezním oboru.
Přmky o rovnicích $y = 0x +\frac {1}{2}$ , $y = 4x -\frac {1}{2}$ jsou tedy asymptotami dané hyperbpöly.