Matematické Fórum

Alivendes · 17. 06. 2011 20:24

Zdravím, při počítání s goniometrickými funkcemi se občas využívá vztahu, že funkce sinus a tangens se v okolí bodu nula chovají jako přímka, mě by ale zajímalo, jak je velké je to okolí, tedy v jakém intervalu se dané funkce chovají jako přímky, nevíte někdo, jak to určit?
Děkuji

jarrro · 17. 06. 2011 21:35

↑ Alivendes:nie som si istý, ale asi záleží od chyby akú si ochotný ešte akceptovať

teolog · 17. 06. 2011 21:36 — Editoval teolog (17. 06. 2011 21:38)

↑ Alivendes:
Z mého laického pohledu bych to vysvětlil takto (případně ať někdo ze zkušenějších kolegů upřesní můj pokus):
Sinus není nikdy roven přímce (alesoň na intervalu). Ale pokud budeme brát část funkce, pro kterou se x pohybuje kolem nuly, můžeme kousek sinusoidy nahradit přímkou. Neexistuje interval, pro který to ještě je přímka a pro který už ne. Zleží jen na tom, jak moc se má sinusoida blížit oné přímce. Pokud budeme hodně tolerantní, můžeme brát klidně interval <-pí; pí>, ale ten kousek sinusoidy se přímce moc nepodobá. Pokud budeme chtít něco bližšího přímce, musíme interval zúžit.
Pro lepší náhled bych doporučil udělat si graf funkce y=x a k tomu přidat graf funkce y=sin x.

Takže vlastně jen záleží, jak moc velkou chybu si můžeme dovolit.

EDIT: ↑ jarrro: byl rychlejší, ale nechám to tu. Třeba ten podrobnější popis pomůže někomu dalšímu.

Alivendes

↑ teolog:
Já sem samozřejmě grafy dělal, ale z grafu jsem získal dost přibližné řešení, ale děkuji .

jarrro · 17. 06. 2011 21:55

↑ Alivendes:myslím,že tvoj problém je presne vyriešiť nerovnicu
$\left|\sin{\left(x\right)}-x\right|<\varepsilon$ čo podľa mňa ide len numericky

zdenek1 · 17. 06. 2011 22:45

↑ Alivendes:
NApř. ve fyzice při studiu matematického kyvadla se pro "malé kmity" provádí tato linearizace a za "malé kmity" se považují výchylky $\pm5^o$ .

Alivendes · 18. 06. 2011 19:30

↑ zdenek1:
Díky :), to mi stačí.

jarrro · 26. 06. 2011 13:18 — Editoval jarrro (26. 06. 2011 13:24)

↑ Alivendes:je to vyriešené,ale tak ma napadlo,že vlastne z Taylorovej vety vyplýva
$\left|\sin{x}-x\right|=\left|\frac{\cos{c}}{6}\cdot x^3\right|<\left|\frac{x^3}{6}\right|$
teda stačí riešiť
$\frac{x^3}{6}<\varepsilon\nl\left|x\right|<\sqrt[3]{6\varepsilon}$

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2011 20:24

Goniometrie

#2 17. 06. 2011 21:35

Re: Goniometrie

#3 17. 06. 2011 21:36 — Editoval teolog (17. 06. 2011 21:38)

Re: Goniometrie

#4 17. 06. 2011 21:40 — Editoval Alivendes (17. 06. 2011 21:44)

Re: Goniometrie

#5 17. 06. 2011 21:55

Re: Goniometrie

#6 17. 06. 2011 22:45

Re: Goniometrie

#7 18. 06. 2011 19:30

Re: Goniometrie

#8 26. 06. 2011 13:18 — Editoval jarrro (26. 06. 2011 13:24)

Re: Goniometrie

Zápatí