Matematické Fórum

bsachova · 18. 06. 2011 17:02

Byla jsem na přijímacích zkouškách na VŠE a byl tam zhruba tento příklad:

Kořenem kvadratické rovnice o tvaru x^2+px+q=0 je komplexní číslo x=3-i, kolik je součet p+q?

Vrtá mi to hlavou a nemohu přijít na postup už dlouho, díky za odpověď.
Díky Bára :)

Dioxid

Když je jedním kořenem 3-i, tak druhým musí být 3+i. Kvadratická rovnice má pak tvar:
(x-(3+i))*(x-(3-i))=0
což po roznásobení dá
x^2-6x+10=0

p+q=-6+10=4

Myslím že by to tak mohlo být.

Sulfan · 18. 06. 2011 17:17

Fakultativně by to šlo pomocí Vietových vztahů (jsou ale náročné na paměť, postup ↑ TomDlask: kolegy je více názorný):

standyk

↑ bsachova:

Druhým koreňom tejto rovnice bude komplexne združené číslo k číslu $x_1=3-i$ . Teda: $x_2=3+i$

Dosadíme do rovnice:
$(x-x_1)\cdot(x-x_2)=0$
$[x-(3-i)]\cdot[x-(3+i)]=0$
$[(x-3)+i)]\cdot[(x-3)-i)]=0$
Použijeme vzorec $(a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2$
Preto:
$(x^2-6x+9)-i^2=0$
Keďže $i^2=-1$ preto:
$x^2-6x+9+1=0$
$x^2-6x+10=0$
$p=-6$ a $q=10$ preto: $\color{red}p+q=4\color{black}$