Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Výpočet limity v nevlastním bodě (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 05. 11. 2007 12:17
Výpočet limity v nevlastním bodě
Neporadil by mi někdo s limitou:![$\lim_{n \to \infty}{n(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1})$](/mathtex/3e/3ed71ca6287bf89815116de3cc293cfe.gif "kopírovat do textarea")
l'Hospitalem mi to nejde, "vyndavanim" n z odmocnin také nepomáhá, zřejmě to půjde nějak rozšířit nebo na to aplikovat nějaký vzoreček, ale já ho v tom nevidím..
Děkuju
Lasciate ogni speranza. | Podílí se na Encyklopedii Fyziky (http://fyzika.jreichl.com) | Oblíbený IT projekt http://online-domain-tools.com
Offline
#2 05. 11. 2007 12:34
- jelena
- Jelena
- Místo: Opava
- Příspěvky: 30020
- Škola: MITHT (abs. 1986)
- Pozice: plním požadavky ostatních
- Reputace: 100
Re: Výpočet limity v nevlastním bodě
Zkus rozsirit do vzorce (a-b)(a+b)/(a+b), musis to ale provest jednou a pak jeste jednou, nebo do vzorce (a-b)* (a^2 +ab + b ^2) / (a^2 +ab + b ^2) - ta prvni varianta ale vypada peknej. Hodne zdaru :-)
Offline
#3 05. 11. 2007 14:44 — Editoval Lishaak (05. 11. 2007 15:23)
Re: Výpočet limity v nevlastním bodě
![$\lim_{n\to \infty}n\(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1}\)=\lim_{n\to \infty}n\frac{(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1})\( {\(\sqrt{n^2+2}\)}^5 + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^3{\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^2 + \cdots + {\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^5\)} {{\(\sqrt{n^2+2}\)}^5 + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^3{\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^2 + \cdots + {\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^5} = \nl = \lim_{n\to \infty}n\frac{(n^2+2)^3-(n^3+1)^2} {{\(\sqrt{n^2+2}\)}^5 + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^3{\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^2 + \cdots + {\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^5} = \nl = \lim_{n\to \infty}\frac{6n^5-2n^4+12n^3+7n} {{\(\sqrt{n^2+2}\)}^5 + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^3{\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^2 + \cdots + {\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^5} = \nl \lim_{n\to \infty}\frac{6-\frac{O(n^4)}{n^5}} {\frac{{\(\sqrt{n^2+2}\)}^5 + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^4\sqrt[3]{n^3+1} + {\(\sqrt{n^2+2}\)}^3{\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^2 + \cdots + {\(\sqrt[3]{n^3+1}\)}^5}{n^5}} = \cdots $](/mathtex/af/afd97194fadbac8b60109957f2d8e138.gif "kopírovat do textarea")
Kazdy ten clen v tom dlouhem souctu je O(n^5), takze je treba kazdy videlit tim n^5. To uz ale neni nic tezkeho, jenom je to pracne. Kazdy ten podil bude mit limitu jedna, cili v citateli toho velkeho zlomku se nascita 6, tedy celkova limita by mela vyjit 6/6 = 1.
Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.
Offline
![$\lim_{n \to \infty}{n(\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1})}=\lim_{n \to \infty}{n\left((n+\frac22n^{-1}+O(n^{-3}))-(n+\frac13n^{-2}+O(n^{-5}))\right)}=\nl=\lim_{n \to \infty}{n(\frac22n^{-1}+O(n^{-3}))}=\frac22+\lim_{n\to\infty}O(n^{-2})=1$](/mathtex/c0/c04aaaa36eda2bbe3cc7aca6100f9b44.gif "kopírovat do textarea")
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Výpočet limity v nevlastním bodě (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)