Matematické Fórum

pavels · 13. 06. 2008 08:24

Prosím o stručný výklad významu diferenciálu. Mám na mysli "polopatě", abych byl schopný si jej spojit s formálním výkladem.
Že vyjadřuje změnu funkční hodnoty v závislosti na argumentu bych věděl, ale k čemu a proč.

Prosím tedy o jednoduché vysvětlení. Děkuji.

kaja.marik

Ve fyzice se občas vyskytuje třeba výraz $\sqrt{1+x}$ a s tím se špatně počítá, ale ví se, že x je malé (blízko k nule). Potom platí
$\sqrt{1+x}\approx 1+\frac 12 x$ a s tím se počítá líp.

diferenciál v bode x=0 je tady $\frac 12 dx$
http://mathonline.fme.vutbr.cz/Diferenc … fault.aspx
----------------------------------------------------------
„Já jsem sice už snídal, ale třeba by se vzácná paní zlobila, kdybych nejed’. A taky jsem se už proběhl a ty moje ledviny jsou takové mlsné, jak cítějí kakó. Hned mne strkají ke stolu.“

lukaszh · 13. 06. 2008 09:12

Povedal by som, že diferenciál slúži na približné zistenie nejakej hodnoty. Má možno veľa využitia no ja ich nepoznám, ale pre predstavu:
Napríklad ziti? koľko je $\sqrt{65}$ . Predstav si to ako funkiu. $f(x)=\sqrt{x}$ Teraz nám ide o to, zisti? $f(65)$ . My funkčnú hodnotu nepoznáme, t.j. nepoznáme ani prírastok $\Delta y$ . Zober si ale, prírastok na x: $\sqrt{64+\Delta x}$ . Čím bude menší, tým sa bude hodnota približova? k skutočnej.
Plati, že 8 na druhu je 64. Prirastok bude potom: $\Delta x=1$ . Ak si nakreslis obrazok, zistis, ze podiel $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\alpha$ , čo je smernica secnice funkcie. Kedze funkciu poznas, prirastok poznas, a tu spociva zakladna myslienka: Uhol secnice sa zameni za uhol dotycnice, v urcitom bode - tym sa bude vypocitana hodnota len malo lisit od skutocnej. Potom $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)$ . Prírastok na y vypocitas upravou rovnice: $\Delta y=f'(x_0)\Delta x$ . A sme doma:-)

V našom pripade je prirastok x =1´, derivacia v bode 64 je $f'(64)=\frac{1}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{16}$ - toto je smernica dotycnice v bode 64. Tymto spôsobom sme nahradili smernicu secnice smernicou dotycnice a teraz vypocitame ten priblizny prirastok:
$\Delta y=\frac{1}{16}\cdot 1=\frac{1}{16}$
To je vsak len prirastok a pribliznu hodnotu vypocitas $\sqrt{64}+\frac{1}{16}=\frac{129}{16}$

Lishaak · 13. 06. 2008 10:26

Moje zkusenosti s diferencialem, aneb k cemu jsem ho ja v zivote pouzil:

1. Vypocet normaly k plose, kterou tvori graf funkce. V pocitacove grafice se to hodi pro pocitani ruznych osvetlovacich modelu u ploch, ktere jsou zadane nejakym vzoreckem (tedy ne jako mnozine trojuhelniku, ale treba nejake bezierovy platy, NURBS krivky apod.).

2. Prvnimu diferencialu skalarni funkce se rika gradient. Udava smer (vektor), ve kterem se nejrychlej meni hodnoty dane funkce.

3. Diferencialy vyssiho radu a parcialni derivae se pouziji napriklad u Taylorova rozvoje pro funkce vice promennych, coz nam umozni daleko presneji aproximovat jeji hodnoty v urcitem bode (tedy i takovem, ktery muze byt i dost daleko od bodu, ve kterem ten rozvoj provadime).

Jestli nekdo pouziva derivace a diferencialy, tak to jsou fyzici, ti s tim pracuji porad a neustale. Bohuzel nejsem fyzik, takze nemuzu uvest konkretni priklad. Ale zajmve napriklad je, ze

Rychlost je derivaci funkce, ktera udava drahu v zavislosti na case
Zrychleni je derivaci funkce, ktera udava rychlost v zavisloti na case (tedy druha derivace drahy za cas)

a tak dale, milion jinych pouziti, ktere si jeste ani neumim predstavit....

kaja.marik

↑ Lishaak:
priklad pouziti ve fyzice: http://old.mendelu.cz/~marik/aplikace/einstein.pdf (pojem diferencial se tam nevyskytuje, ale je tam aproximace tecnou a diferencial je prirustek na tecne)
---------------------------------------------------
Kája vzdychl tak hluboce a těžce, až se peřinka nad ním zachvěla; "Já bych, maminko, nikdá malým klukům hned po ránu nepřipomínal úkol."

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2008 08:24

Význam diferenciálu

#2 13. 06. 2008 08:51 — Editoval kaja.marik (13. 06. 2008 08:52)

Re: Význam diferenciálu

#3 13. 06. 2008 09:12

Re: Význam diferenciálu

#4 13. 06. 2008 10:26

Re: Význam diferenciálu

#5 13. 06. 2008 11:01 — Editoval kaja.marik (13. 06. 2008 11:03)

Re: Význam diferenciálu

Zápatí