Matematické Fórum

mtfkar · 18. 06. 2011 11:31 — Editoval mtfkar (18. 06. 2011 11:32)

Mám problém s riešením tejto diferencálnej rovnice : y´+ y krát cosx=cosx y(0)=2

Je táto rovnica už upravená a teda treba ju už len začať riešiť, alebo ju mám ešte celú vydeliť deleno y ?
Ak nie tak mám ju riešiť najprv nájdeniím všeobecného riešenia najprv s nulovou pravou stranou a potom variáciou konštánt ? Ďakujem za odpovede

jelena · 18. 06. 2011 16:15

Zdravím

asi bych provedla tuto úpravu: $y^{\prime}+y\cdot \cos x=\cos x$

$y^{\prime}=-y\cdot \cos x+\cos x$ a vytknutí cos(x), tedy se převede na separovatelnou.

Myslím, že tato rovnice už zde byla, pokud si vzpomenu, tak přidám do EDIT. Používej prosím prostředky pro matematický zápis.

EDIT: potom bych pokračovala

$y^{\prime}=\cos x(1-y)$
$\frac{y^{\prime}}{1-y}=\cos x$ a je odseparovano $\frac{\mathrm{d}y}{1-y}=\cos x \mathrm{d}x$

mtfkar · 18. 06. 2011 18:14

↑ jelena:

Nechápem vôbec spôsob tvojho riešenia. Ja by som to riešil tak že by som to celé vydelil y
potom by vyšlo y´/y + cosx =cosx/y
Potom položil rovné nule....

Cynyc · 18. 06. 2011 18:27

Lineárky prvního řádu se nejlíp řeší pomocí integračního faktoru, je to prakticky dosazení do vzorečku. Máme-li rovnici $y'+a(x)y=b(x)$ , nalezneme nejprve primitivní funkci (neurčitý integrál se zvolenou konstantou, zpravidla nulou) k $a$ (nazvěme ji $A$ ) a dosadíme: $y=\frac{\int b\,\mathrm{e}^A}{\mathrm{e}^A}$ . V tomto případě je $a=\cos x$ , $A=\sin x$ a $y=\frac{\int\cos x\,\mathrm{e}^{\sin x}\,\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{\sin x}}=\frac{\mathrm{e}^{\sin x}+c}{\mathrm{e}^{\sin x}}=1+c\,\mathrm{e}^{-\sin x},\ x\in\mathbb{R}$

jelena · 18. 06. 2011 18:51

mtfkar napsal(a):
potom by vyšlo y´/y + cosx =cosx/y
Potom položil rovné nule....

... a potom? Editovala jsem svůj příspěvek, pokud se bude hodit, ale už bych nerada vstupovala kolegovi ↑ Cynyc: do výkladu, děkuji.

mtfkar · 19. 06. 2011 16:15

A nejako jednoduchšie sa to riešiť nedá ? lebo táto metóda integračného faktoru mi je neznáma.
Ja by som to riešil najprv tak že celé to predelím deleno y a potom pravú stranu dám rovnú nule a riešim ako LDR bez pravej strany

jelena · 19. 06. 2011 21:10

↑ mtfkar:

můžeš použit postup z příspěvku 2 (separace proměnných), k řešení $\int \frac{\mathrm{d}y}{1-y}=\int \cos x \mathrm{d}x$

nebo počkej, pokud někdo nabídne ještě jednodušší postup, případně splní Tvou představu o dělení y.

jarrro · 19. 06. 2011 22:24

už sa riešilo

mtfkar · 20. 06. 2011 11:26

↑ jarrro:

Jasne, a ak mám rovnicu typu : y´+ 3y/x= 2/x^3

tak ju riešim obdobným spôsobom , alebo sa tam dá použiť aj vzťah c krat e ^integral p(x)dx ? A ak nie tak kedy sa používa tento vzťah ? Lebo niekde je a niekde nie a teraz som z toho domotaný.

jarrro · 20. 06. 2011 11:45

↑ mtfkar:to je lineárna rovnica najprv rieš bez pravej strany a potom s pravou stranou hľadaj partikulárne riešenie v tvare
$Ax^{-2}$

mtfkar · 20. 06. 2011 12:14

To viem len šikol by sa napísať tvoj postup na overenie, lebo neviem či to myslíš tak ako ja

jarrro · 20. 06. 2011 15:19

↑ mtfkar:napíš ty postup

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2011 11:31 — Editoval mtfkar (18. 06. 2011 11:32)

Riešenie Cauchyho úlohy

#2 18. 06. 2011 16:15

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#3 18. 06. 2011 18:14

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#4 18. 06. 2011 18:27

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#5 18. 06. 2011 18:51

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

mtfkar napsal(a):

#6 19. 06. 2011 16:15

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#7 19. 06. 2011 21:10

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#8 19. 06. 2011 22:24

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#9 20. 06. 2011 11:26

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#10 20. 06. 2011 11:45

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#11 20. 06. 2011 12:14

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

#12 20. 06. 2011 15:19

Re: Riešenie Cauchyho úlohy

Zápatí