Matematické Fórum

da.backer · 17. 06. 2011 14:57

Zdravím,

poradil by mi někdo jak pokračovat dále ? Popř. jak vyjádřit alfa ? Děkuji.

Rumburak

↑ da.backer:
Plocha S určená rovnicí $F(x,y,z)=0$ má ve svém regulárním bodě $T=[x_0,\,y_0,\,z_0]$ má normálový vektor

(1) $\vec {n}(T)=$\frac{\partial F}{\partial x}(T),\,\frac{\partial F}{\partial y}(T),\,\frac{\partial F}{\partial z}(T)$$ ,

nebo jeho (libovolný) nenulový násobek, normála plochy S v bodě T je pak přímka, která prochází bodem T a jejímž směrovým vektorem je
normálový vektor plochy v daném bodě.

Vektor (1) je kolmý k tečné rovině plochy S vedené bodem T.

Je-li ve speciálním případě plocha S rovinou o rovnici ax + by + cz + d = 0 , potom jejím normálovým vektorem (v kterémkoliv jejím bodě)
je (a, b, c) a je to vektor kolmý k rovině S (která je sama sobě tečnou rovinou).

K vlastní úloze:
Především tedy hledáme takové normálové vektory plochy $\rho$ , které jsou zároveň normálovými vektory roviny $\vartheta$ .

Stačí tato nápověda ?

PS. A měla by Ti pomoci i k vyřešení úlohy ↑ da.backer:

da.backer · 17. 06. 2011 18:52

↑ Rumburak:
Děkuji za radu,

tohle téma není zrovna nečím co by mě bavilo, takže se tím potřebuji jen nějak prokousat.

Zatím to moc nechápu, zkusím to zítra a napíšu.

momentálně velice děkuji.

da.backer · 18. 06. 2011 14:15

Tak bohužel mi to nějak nemyslí, nevím jak bych měl postupovat. :(

Rumburak

↑ da.backer:

1. Najdeš normálový vektor $\vec{m}$ té roviny $\vartheta$ (bude to nenulový vektor určený jednožnačně až na nenulový násobek).

2. Vezměš funkci F z rovnnce F(x,y,z) = 0 té plochy $\rho$ a spočítáš v obecném bodě T = [x, y, z] její gradient

$\nabla F(T)=$\frac{\partial F}{\partial x}(T),\,\frac{\partial F}{\partial y}(T),\,\frac{\partial F}{\partial z}(T)$$ .

3. Na ploše $\rho$ budeš hledat takové body T, aby vektor $\nabla F(T)$ byl nenulovým násobkem vektoru $\vec{m}$ .
To budou ony body, v nichž normála k ploše $\rho$ je kolmá k rovině $\vartheta$ .

4. Napíšeš rovnice těch normál k ploše $\rho$ v bodech T z předchozího kroku.

Je problém v některém z těchto kroků ?

da.backer · 20. 06. 2011 14:10

↑ Rumburak:

" V obecném bodě" myšleno, že si mohu vybrat lib. bod ? (1,1,1) ? nebo ten normálový vektor $\vec{m}$ ?

Děkuji.

Rumburak

↑ da.backer:

Obecným bodem T = [x, y, z] je myšlen blíže nespecifkovaný bod, jekož souřadnice mohou být jakékoliv v rámci definičního oboru funkce F
(a proto je značíme proměnnými x, y, z).

V kroku 3 a dále to zúžíme na body ležící na ploše o rovnici F(x,y,z) = 0 , tj. připojíme podmínku, že souřadnice x, y, z jsou vázány touto rovnicí.

da.backer

↑ Rumburak:

Chápu jak to myslíš, ale asi to nedokážu použít u tohoto konkrétního příkladu.

$\nabla F(T)=${2x+z}(T),\,{2y-4}(T),\,{-2z+x}(T)$$

Nebo myslíš, vyjádřit to T v závislosti na proměných ?

$2x+z=T$
$2y-4=2T$
$-2z+x=-7T$

takto ?

Tento typ příkladu jsem již počítal ale vždy mi po zderivování vyšlo u nějaké proměné pouze nějaké číslo. Potom jsem to dal do rovnosti jak mám zde výše, vypočítal "T" dosadil a zjistil x,y,z a bylo hotovo, ale jak je tam takhle víc proměných tak nevím.

Rumburak

↑ da.backer:

Ten bod T = [x, y, z] píšeme v identitě

(A) $\nabla F(T)=$\frac{\partial F}{\partial x}(T),\,\frac{\partial F}{\partial y}(T),\,\frac{\partial F}{\partial z}(T)$$

tehdy, když chceme zdůraznit její platnost pro bod T, ale nechceme podrobně vypisovat jeho souřadnice.

Chceme-li naopak souřadnice bodu T vypsat, píšeme

(B) $\nabla F(x, y, z)=$\frac{\partial F}{\partial x}(x, y, z),\,\frac{\partial F}{\partial y}(x, y, z),\,\frac{\partial F}{\partial z}(x, y, z)$$ ,

nebo
(C) $\nabla F(x_T, y_T, z_T)=$\frac{\partial F}{\partial x}(x_T, y_T, z_T),\,\frac{\partial F}{\partial y}(x_T, y_T, z_T),\,\frac{\partial F}{\partial z}(x _T, y_T, z_T)$$ ,

jestliže je např. zavedena konvence značit souřadnice bodu T symboly $x _T, y_T, z_T$ a podobně.

Chceme-li se abstrahovat od souřadnic bodu T i od bodu T jako takového, můžeme napsat též

$\nabla F=$\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z}$$ .

Všechny tři zápisy znamenají v podstatě totéž, nuance mezi nimi jsou spíše psychologické. Ale komvnovat nějak (A) s (B) není vhodné.

V našem konkrerním případě funkce F je $\nabla F = \nabla F(T)=\nabla F(x, y, z )=$2x+z,\,2y-4,\,-2z+x$$ , to se má rovnat
nenulovému násobku vektoru $(1,2,-7)$ a zroveň má být splněno $F(x, y, z) = 0$ (aby nalezený bod [x, y, z] ležel na té ploše $\rho$ .
Úloha tedy vede k soustavě

$F(x, y, z) =\,\,\,\,\, 0, \\2x+z =\,\, \,\,\,\lambda, \\ 2y-4 = \,\,2\lambda,\\ -2z+2 = -7\lambda$

při podmínce $\lambda \ne 0$ . Jejím vyřešením budou na ploše $\rho$ nalezeny body, jimiž vedené normály plochy $\rho$ jsou kolmé k rovině $\vartheta$ .

da.backer · 20. 06. 2011 15:29

To co jsi napsal v poslední příspěvku již chápu. Děkuji.

$(2x+z; 2y-4; -2z+x)*(1;2;-7)$

Dál budu pokračovat jak ?

z této roznásobené rovnice si vyjádřím x a dosadím zpět a vyjádřím y a potom vypočítám z a zpětně x a y ?

Rumburak · 20. 06. 2011 15:44

↑ da.backer:
Daší podrobnosti jsem doplnil do svého předchozího příspěvku, aby to bylo pohromadě.

da.backer

$F(x, y, z) =\,\,\,\,\, 0, \\2x+z =\,\, \,\,\,\lambda, \\ 2y-4 = \,\,2\lambda,\\ -2z+x = -7\lambda$

Velice děkuji, takto jsem to dělal ale nikdy jsem nevěděl proč :) takže opravdu děkuji za doplnění.

Nicméně nedokážu vypočítat 3 rovnice kde jsou celkem 4 neznámé.

Rumburak

↑ da.backer:
Na tu první rovnici se prozatím vykašli a vyřeš soustavu těch zbývajících tří pro neznámé x, y , z s parametrem $\lambda$ . To jsou lineární rovnice,
které není těžké vyřešit. Vyjde Ti $x = x(\lambda), \,y = y(\lambda), \,z = z(\lambda)$ a toto pak dosadíš do první rovnice a tak dostaneš
$F(x(\lambda), \,y(\lambda), \,z(\lambda)) = 0$ , což bude po úpravě - jak se zdá - kvadratická rovnice s jednou neznámou $\lambda$ .

da.backer · 20. 06. 2011 16:33

↑ Rumburak:

$x =-\lambda, \,y = 2+(\lambda), \,z = 3(\lambda)$

Nebo pokud to nebylo takto myšlo tak opravím.

Rumburak · 20. 06. 2011 16:46

↑ da.backer:
Je to správně, ale není důvod dávat to $\lambda$ do závorky.

da.backer

$x =-\lambda, \,y = 2+\lambda, \,z = 3\lambda$
$F(-\lambda, \,2+\lambda, \,3\lambda) = 0$
$-\lambda=0$ $->$ $\lambda=0$
$2+\lambda=0$ $->$ $\lambda=-2$
$3\lambda=0$ $->$ $\lambda=0$

Tak to asi ne že ?

Rumburak · 20. 06. 2011 17:07

↑ da.backer:

???

To $F(x, y, z)$ je podle Tebe co ?
Napiš si rovnici $F(x, y, z) = 0$ a pak $F(-\lambda, \,2+\lambda, \,3\lambda) = 0$ bez použití symolu F .

da.backer · 20. 06. 2011 17:13

$F(x, y, z)$ je funkce plochy $\rho$

to jsem udělal

$(-\lambda, \,2+\lambda, \,3\lambda) = 0$

$-\lambda=0$
$2+\lambda=0$
$3\lambda=0$

Rumburak · 21. 06. 2011 09:51

↑ da.backer:
(1) $F(x, y, z)=0$

je ROVNICE plochy, v níž symbol $F(x, y, z)$ je zkratka pro nějaký algebraický výraz, zde konkretně pro výraz
$x^2+y^2-z^2 + xz - 4y + 14$ , pokud jsem to správně opsal zez zadání.

Rovnice (1) je tedy zkrácený zápis rovnice

(2) $x^2+y^2-z^2 + xz - 4y + 14 = 0$ ,

sem musíme dosadit

(3) $x =-\lambda, \,y = 2+\lambda, \,z = 3\lambda$ ,

abychom dostali rovnici pro výpočet $\lambda$ . Pak podle vzorců (3) dopočítáme x, y, z.

da.backer · 21. 06. 2011 10:12

↑ Rumburak:

Děkuji, to mě mohlo také napadnout... Děkuji hlavně za trpělivost. !

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2011 14:57

Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#2 17. 06. 2011 16:41 — Editoval Rumburak (20. 06. 2011 15:59)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#3 17. 06. 2011 18:52

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#4 18. 06. 2011 14:15

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#5 20. 06. 2011 11:04 — Editoval Rumburak (20. 06. 2011 11:06)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#6 20. 06. 2011 14:10

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#7 20. 06. 2011 14:17 — Editoval Rumburak (20. 06. 2011 14:19)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#8 20. 06. 2011 14:22 — Editoval da.backer (20. 06. 2011 14:53)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#9 20. 06. 2011 15:15 — Editoval Rumburak (20. 06. 2011 15:50)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#10 20. 06. 2011 15:29

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#11 20. 06. 2011 15:44

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#12 20. 06. 2011 16:12 — Editoval da.backer (20. 06. 2011 16:22)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#13 20. 06. 2011 16:24 — Editoval Rumburak (20. 06. 2011 16:27)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#14 20. 06. 2011 16:33

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#15 20. 06. 2011 16:46

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#16 20. 06. 2011 16:55 — Editoval da.backer (20. 06. 2011 16:56)

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#17 20. 06. 2011 17:07

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#18 20. 06. 2011 17:13

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#19 21. 06. 2011 09:51

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

#20 21. 06. 2011 10:12

Re: Tečna rovina a normála plochy v prostoru

Zápatí