Matematické Fórum

Prochycz

Zdarvim,
mám tento příklad:
Najděte lokální extrémy funkce:
$z=xy-x+y-1$
vzhledem k množině:
$M=\{[x,y]\in E_2; x+y=1\}$
Zkoušel jsem to počítat a rád bych chtěl vědět jestli dobře, nevim jestli si tohle můžu někde na internetu zkontrolovat.
Vyjádřil sem si podmínku:
$y=1-x$
Následně sem to dosadil do původního zadání:
$z=x-x^2-x+1-x-1=-x^2-x$
To jsem následně zderivoval:
$z'=-2x-1 \rightarrow x=-1/2 y=3/2$
Takže stacionární bod vypadá následovně $A[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$
Už jen stačí udělat druhou derivaci
$z''=-2 \rightarrow z''<0 \rightarrow lokalni maximum$
Takže v bodě $A[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$ by mělo být podle mě vázané maximum.
Je tento postup správně?
Děkuji za ochotu pomoci.

FailED · 21. 06. 2011 17:33

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lo … +x%2By%3D1

kexixex · 21. 06. 2011 17:36

↑ Prochycz:
No na tohle se používá věta o Lagrangeových multiplikátorech (před chvílí jsem postnul příspěvek, kde je naznačeno, jak se to počítá). Spočítal jsem tvůj příklad touhle větou a vyšlo mi, že maximum je v bodě A=(-0,5;1,5). Taky nevim jistě, jestli je to dobře, ale funkční hodnota v mym bodě je větší než v bodě (-1,2)...

Prochycz

Tak sem to zkusil podle toho Lagrangeova multiplikátoru a už mi to vyšlo jako ukazuje wolfram. Jestli to někoho zajímá, tak tady uvádím ten správnej postup:
$Z=xy-x+y-1+\lambda(x+y-1)\nlZ_x'=y-1+\lambda=0\rightarrow y=1-\lambda\nlZ_y'=x+1+\lambda=0\rightarrow x=-1-\lambda\nlx+y-1=0\nl-1-\lambda+1-\lambda-1=0 \rightarrow \lambda=-1/2\rightarrow x=-1/2 y=3/2\nlA[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$
Akorát teda nevim, jak podle toho poznám jestli je v tom bodě je minimumum, maximum nebo tam není extrém. Zkoušel jsem pomocí matice druhých derivací ale to mi nějak nevycházelo.

Stýv · 21. 06. 2011 19:17

ten první postup by fungoval taky, ale špatně jsi dosadil:
$z=\framebox{$x$}-x^2-x+1-x-1=-x^2-2x+1$

Prochycz

↑ Stýv: Ajo já sem trubka. Děkuji za upozornění. Upravil jsem první příspěvek, takže teď už je správně.

kexixex · 21. 06. 2011 19:30

Jestli je tam minimum nebo maximum zjistíš podle znamének determinantů a subdeterminantů matic druhých derivací.. Ale když ti vyjde jeden bod jako stacionární a funkce je spojitá (možná jsem na nějakou podmínku ještě zapomněl), stačí zkusit jakejkoliv jinej bod A z daný množiny a porovnat funkční hodnotu v stac. bodě a v bodě A. Pokud je např v bodě A větší funkční hodnota než ve stacionárnim bodě, musí být v stac. bodě logicky minimum... No a ten tvůj původní způsob se dělá dobře, pokud je množina, na kterou je extrém vázán, přímka.. Pokud je to třeba povrch koule, jsou už Lagrangeovy multiplikátory mnohem výhodnější...

matfyzák

pekný deň vo spolok, chcel by som sa ešte opýtať k danému príkladu, ako postupovať, resp. akú má výpovednú hodnotu záporne semidefintný Hessian? pokiaľ je v stac. bode maximum, mal by mi predsa vyjsť aj prvý subdeterminant záporný a nie nulový, budem vďačný za akúkoľvek radu -{žiadnu}

Stýv · 28. 06. 2011 16:46

↑ matfyzák: nemýlím-li se, tahle matice je indefinitní

matfyzák · 28. 06. 2011 17:06

↑ Stýv: tak teraz ste mi zasadili chrobáka :) mňa pri tomto určovaní, neviem prečo, vždy napadá matica 3x3 a v nej pokiaľ sa niektorý subdeterminant rovná nule, matica je automaticky semidefinitná (buď + alebo -), indefinitná je v prípade záporného druhého subdet., aspoň tak nám to tlačili do hlavy, no ale teraz si fakt nie som istý, ak by som sa mýlil ja a vrchná matica bola skutočne indefinitná, nevedeli by sme o nej nič povedať (teda momentálne aspoň ja nie), naďalej mi však vŕta hlavou, čo s ňou v prípade, ak je semidefinitná? marí sa mi, že na to boli ďalej nejaké "páky", ale neviem si spomenúť a ani nájsť aké :I

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2011 17:15 — Editoval Prochycz (21. 06. 2011 19:25)

Vázané extrémy

#2 21. 06. 2011 17:33

Re: Vázané extrémy

#3 21. 06. 2011 17:36

Re: Vázané extrémy

#4 21. 06. 2011 19:01 — Editoval Prochycz (21. 06. 2011 19:02)

Re: Vázané extrémy

#5 21. 06. 2011 19:17

Re: Vázané extrémy

#6 21. 06. 2011 19:21 — Editoval Prochycz (21. 06. 2011 19:25)

Re: Vázané extrémy

#7 21. 06. 2011 19:30

Re: Vázané extrémy

#8 28. 06. 2011 16:23 — Editoval matfyzák (28. 06. 2011 16:43)

Re: Vázané extrémy

#9 28. 06. 2011 16:46

Re: Vázané extrémy

#10 28. 06. 2011 17:06

Re: Vázané extrémy

Zápatí