Matematické Fórum

ale vektor neni prece normalovy vektor strany c!

↑ thriller: ale mně stačí jen ten směrový vektor (od B k A) a pak vypočítám to c

↑ thriller: takže normálový vektor je (6;2)

↑ Rozulinka: Ano. A ano. A snad ne..:)

Máš vektor (a,b).
Vektor kolmý na něj je (b,-a) a taky (-b,a).

K důkazu tohoto tvrzení stačí znát, že vynásobíš-li dva vektory skalárně a vyjde-li 0, jsou na sebe kolmé. (a,b).(b,-a) = ab + (-a)b = 0.



Neboli, vektor kolmý uděláš tak, že ta čísla prohodíš a jednomu změníš znaménko. (-2,6)-->(6,2)

Tam se počítala rovnice přímky kolmé na stranu "a", tudíž k ní byl potřeba vektor kolmý na tuto přímku. Takový vektor je ale rovnoběžný se stranou "a", nebo jinak, směrový vektor strany "a" je normálovým vektorem kolmice na stranu "a".

Vždy, když chceš zapsat rovnici přímky ve tvaru ax+by+c=0, potřebuješ normálový vektor dané přímky (vektor kolmý k té přímce) ve tvaru (a,b).
To že tento vektor někdy může bý směrovým vektorem jiné přímky, je už věc jiná a vedlejší.

Představ si to takhle, směrový vektor přímky která splývá s osou x je například (1,0). Normálovým vektorem je pak (0,-1) a rovnice 0x-y=0 neboli y=0. Tento normálový vektor (0,-1) je zároveň směrovým vektorem osy y. OK?

Jo. Není to tak složitý.

Tak pro kontrolu. Máš body A[1,1] a B[2,4]. Napiš rovnici přímky, která jimi prochází. A napiš rovnici přímky, která prochází bodem "A" a je kolmá na tu první přímku.

↑ Rozulinka:
Je to stejný, jak' v tom trojúhelníku. Směrový vektor přímky "p" procházející zadanými body A a B je s=B-A=(1,3). Normálový (kolmý na s) je n=(3,-1).
Rovnice přímky "p" procházející body A a B je tedy 3x-1y+c=0. c pak po dosazení bodu A nebo B vyjde 2.
K rovnici přímky kolmé na "p" potřebuješ její normálový vektor, který je ovšem shodný se směrovým vektorem přímky "p". Rozumíš?

obr: http://sweb.cz/thriller/primka.bmp

↑ Rozulinka:

1) Nakresli si nejprve obrázek (dva body, spoj přímkou a poté an ni udělej kolmou přímku).
2) K napsání rovnice přímky, v dvou rozměrném prostoru, potřebuješ znát jeden bod a jeden vektor (buď normálový - obecná rovnice; nebo směrový - parametrická rovnice)
3) Mezi body A a B si naznač (šipkou) vektor
4) Podle toho kam míří tvoje šipky (ke kterému bodu) spočítáš vektor
5) Pokud vektor LEŽÍ V přímce (na ní) nebo je s ní ROVNOBĚŽNÝ, tak je SMĚROVÝ pro TUTO přímku, pokud je na přímku KOLMÝ, tak je NORMÁLOVÝ pro TUTO přímku!
6) Podle bodu 5) víš jaký vektor jsi mezi body AB udělala (jelikož tento vektor LEŽÍ v přímce určené body AB, tak je pro TUTO přímku směrový)
7) Pokud potřebujEš napsat rovnici přímky určenou body AB a jelikžo jsi před chvíli zjistila směrový vektor, tak můžeš napsat rovnou parametrické rovnice této přímky
8) Pokud potřebuješ napsat rovnici přímky určené body AB v obecném tvaru, tak z právě vypočteného SMĚROVÉHO vektoru, uděláš vektor NORMÁLOVÝ (přehoď souřadnice vektoru a změň u ejdné znaménko, např: směrový vektor přímky p je u = (2; -5), z něj uděláme normálový (kolmý na tuto přímku) vektor buď jako: n = (5; 2) nebo jako n = (-5; -2))
9) Pokud potřebuejš zjistit rovnice přímky kolmé na přímku, která je určena body AB a prochází bodem A, tak si nejprve musíš uvědomit co k tomu potřebuješ (viz. bod 2))
10) Podle bodu 2) si určíš, jakou rovnici (pokud to není napsané v zadání jinak) chceš napsat:
             a) Parametrické rovnice: potřebuješ bod ležící v přímce a směrový vektor (tj. vektor, který leží v dané přímce)
             b) Obecnou rovnici: potřebuješ bod ležící v přímce a normálový vektor dané přímky (tj. vektor, který je na přímku kolmý)
11) Pokud chceš zjistit rovnici(e) přímky kolmé na přímku určenou body AB (kolmá přímka prochází bodem A), tak ti stačí zjistit normálový vektor kolmé přímky (např.) určené body CA. Jelikož je přímka CA kolmá na přímku AB, tak směrový vektor přímky AB (leží V ní) je, stejně jako přímka AB, kolmý na přímku AC. Jelikož víš, že nomálový vektor je ten, který je na přímku kolmý, tak ti stačí zjisti, pro určení přímky AC, směrový vektor přímky AB, což je normálový vektor přímky AC.

EDIT: Dá se to nějak přelouskat? Nevím, jestli jsem se v tom moc neztaratil a nevznikla, tak újma na jednoduchosti (vynechal jsem směrnicový tvar přímky, ten můžeš zjistit z obecné rovnice přímky, vyjádřením "neznámé" y)

EDIT II: Jen malá ukázka na obrázku, aby se text lépe chápal:


Pozn: Snad jsem nepopletl vektory..

Takže když mám příklad Napište obecný tvar rovnice přímky p, která prochází bodem A je kolmá k přímce AB, kde A(1;2), B(3;1)

Tak vypočítám směrový vektor AB to je (2;-1) z toho musím udělat normálový vektor to je (1;2) a ted potřebuju tu rovnici přímky p kolmou k přímce AB a to je: to dosadím normálový vektor za a i b do tý rovnice (ax+by+c=0) a za  x a y zadám bod A, ale to mi pak nevíjde

↑ thriller:

už to vidím, že normálový vektor přímky "k" je zároveň směrovým vektorem přímky "p".  Ale nevím, jak sestavit  rovnice přímky "k" :-(