Matematické Fórum

↑ OiBobik:
Chápu to tedy dobře, že pouze jeden?

↑ Wasp_cz:

Ne jenom jeden, ta trojice vektorů se může na trojici zobrazit libovolně prostě, přičemž zároveň by to nemělo odporovat vlastnostem homomorfismu (tedy každému u z trojice je potřeba vybrat f(u) z trojice tak, aby to bylo prosté zobrazení a zároveň aby pro každé u,v z oné trojice platilo: f(u)+f(v)=f(u+v) ... rozmysli si, že tuto 2. podmínku splňuje každé prosté zobrazení oné trojice na tu trojici vektorů)

↑ Wasp_cz:

Určitě musí platit f(0,0,1)=(0,0,1).

Teď každý z našich automorfismů charakterizujeme nejjednodušeji tak, že jej zadáme předpisem báze na bázi.
Je dobré si všimnout, že (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0), když v tomto zápisu libovolně zpřeházím ony tři vektory, rovnice bude stále platit. Proto si můžu dovolit tvrdit, že každé prosté přiřazení trojice vektorů (0,1,0),(1,0,0),(1,1,0) té samé trojici mi bude charakterizovat právě jeden automorfismus (libovolné dva z těchto tří vektorů spolu s (0,0,1) tvoří bázi; předpis pro bázové vektory jednoznačně charakterizuje automorfismus). tedy počet automorfismů, tedy i kolineací, bude roven počtu seřazení tří prvků, tedy 3!=6.