Matematické Fórum

BakyX · 18. 06. 2011 15:17

Zasa nič neviem..Nemám tušenie..

$F(F(x))=(F(x))^n$

Ďakujem

check_drummer · 18. 06. 2011 19:33

Napadá mě - 0,1, x^n (položením y=F(x) získáme F(y)=y^n).

BakyX · 23. 06. 2011 14:43

Na začiatok..Nech stupeň polynómu F(x) je "k". Stupeň F(F(x)) je k^2. Stupeň (F(x))^n je kn. Je teda zrejmé, že k=n. Skúsim teraz použiť ten postup podobný príkladu 3.7 http://imageshack.us/photo/my-images/148/beznzvuxb.png/

Nech "l" označuje index najvyššieho koeficientu, ktorý sa nerovná 0 (l < n). Rovnosť prepíšeme potom ako:

$\small a_n (a_n x^n + a_k x^k +...++ a_0)^n +a_k (a_n x^n + a_k x^k +...+ a_0)^k +...+ a_0 = (a_n x^n + a_k x^k +...+a_0 )^n$

Porovnánim koeficientov pri $x^{n^2}$ hneď vidíme, že $a_n=1$ . Trošku sa to potom vykráti a ostane:

$a_k (a_n x^n + a_k x^k +...+ a_0)^k +...+ a_1 x + a_0 = 0$

TO vyzerá celkom pekne, ale keďže na pravej strane máme nulový mnohočlen, tak zrejme F(x) je nulový (čo je jedno riešenie) alebo a_k=0, čo je spor s predpokladom.

Polynóm F(x) je teda v tvare $x^n$

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2011 15:17

Rovnosť polynómov

#2 18. 06. 2011 19:33

Re: Rovnosť polynómov

#3 23. 06. 2011 14:43

Re: Rovnosť polynómov

Zápatí