Matematické Fórum

Choosen

Dobrý večer
Jak zjistím, že zadaný homomorfismus je endomorfismus?
Řekněme, že mám zadán homomorfismus $f:\mathbb{Z}_5^3 \to \mathbb{Z}_5^3$ předpisem $f(a,b,c,d)=(a+2b{,}3a+d{,}0)$ . Jak z toho zjistím, že tento homomorfismus je endomorfismem?
Všude možně se píše, že pokud mám homomorfismus $f:U \to V$ pak endomorfismus je $f:U \to U$ , což mi nijak nepomůže. Jak tedy zjistím, že zadaný homomorfismus je endomorfismem a můžete mi to demonstrovat na výše zmíněném příkladě? Ostatně jeden dobře mířený příklad je nad 1000...000 definic.

check_drummer · 21. 06. 2011 21:50

Pochopení definice je nad 1000...000 příkladů:
Endomorfismus je takový homomorfismus f:U->V, pro který je U=V, tj. vzor i obraz jsou tatáž množina. Tedy máš-li nějaký homomorfismus z U do U, pak je to podle definice endomorfismus.

Choosen · 21. 06. 2011 22:34

Zeptám se trochu jinak.
Řekněme že mám zjistit typ homomorfismu $f:\mathbb{R}^3 \to\mathbb{R}^3$ kde $f(x,y,z)=(x+2y+z,2x-y+2z,-2y)$ .
Aby zobrazení $f$ bylo monomorfismus, muselo by platit $\text{Ker}f=(0,0,0)$ . Jelikož mi jádro homomorfismu vyšlo $\text{Ker}f=(-1,0,1)$ , pak z toho usuzuji, že $f$ není monomorfismus.
Obraz $\text{Im}f=[(1,2,0),(0,-5,-2)]$ . Aby to bol epimorfismus, muselo by vyjít $\text{Im}f=\mathbb{R}^3$ , což mi nevyšlo, tudíž toto zobrazení není epimorfismus
Jelikož neplatí, že by zobrazení $f$ bylo mono + epi, pak to není ani izomorfismus.
Dále vím, že aby zobrazení bylo automorfismem, musí být izomorfní + epimorfní. Jelikož není izomorfní, pak nemůže být automorfismem, tudíž není automorfismus.
Zbývá otázka, zda-li je tento homomorfismus endomorfismem. S tímhle si nevím rady.
Jelikož zobrazuji z R^3 do R^3, pak se epimorfismus zjiš=tuje, je to tak? Ale pokud bych zobrazoval třeba z R^3 do R^m, kde $m\in \mathbb{N}\,,m\neq3$ , pak endomorfismus nemůže nastat, že? Ale co dál. Jak tedy u tohoto zadaného příkladu zjistím, že jde o endomorfismus?

check_drummer · 22. 06. 2011 20:13

Založ si prosím nové téma (a zkopíruj tam svůj poslední příspěvek). Obecně platí nový problém => nové téma. I když se všechny problémy týkají -morfismů, jedná se o nové téma.

Choosen

Omlouvám se a děkuji za upozornění.

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2011 21:37 — Editoval Choosen (21. 06. 2011 21:38)

jak zjistím endomorfismus

#2 21. 06. 2011 21:50

Re: jak zjistím endomorfismus

#3 21. 06. 2011 22:34

Re: jak zjistím endomorfismus

#4 22. 06. 2011 20:13

Re: jak zjistím endomorfismus

#5 23. 06. 2011 17:09 — Editoval Choosen (23. 06. 2011 17:10)

Re: jak zjistím endomorfismus

Zápatí