#1 22. 06. 2011 17:21
Určení roviny
Ahoj, vůbec si neumím rady s tímto příkladem... Máme zadány 3 body - A = (1,-1,0), B = (0,0,2), C = (1,1,1). Určete všechny roviny Alfa, které splňují tyto podmínky -
1. A, B náleží do Alfa
2. Vzdálenost bodu C od Alfa je odmocnina ze 2.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Rumburak)
#2 23. 06. 2011 09:22 — Editoval Rumburak (23. 06. 2011 09:23)
Re: Určení roviny
Ad 1. Třeba tak, že si napíšeme rovnici roviny Alfa v obecném tvaru
(1) ax + bx + cz + d = 0 při podmínce, že aspoň jedno z číel a, b, c je nenulové.
Do (1) dosadíme postupně body A , B, čímž získáme daší dvě rovnice, které zužují volbu konstant a, b, c, d.
Ad 2. Opět vyjdeme z tvaru (1). Doplňující rovnici zužující volbu konstant a, b, c, d dostaneme pomocí vzorce
pro vzdálenost bodu C od roviny Alfa.
Offline
#3 23. 06. 2011 14:38
Re: Určení roviny
↑ Rumburak:
Takže dostanu 3 rovnice o 4 neznámých?
1. a-b+d = 0
2. 2c+d = 0
3. a+b+c+d = 2
Offline
#4 23. 06. 2011 16:00 — Editoval Rumburak (23. 06. 2011 16:03)
Re: Určení roviny
↑ Miki314:
První dvě rovnice odpovídající podmínkám 1 jsou správně, třetí rovnice, která by měla odpovídat podmínce 2, už správně není ,
i když se správnému tvaru blíží. Vzorec pro vzdálenost bodu od roviny je uveden zde.
Užitečné je zavést ještě čtvrtou rovnici 
, tím se ta třetí zjednoduší. Korektnost tohoto obratu plyne z faktu,
že čtveřice (a, b, c, d) v rovnici roviny není určena jednoznačně - může být nahrazena libovolnou čtveřicí (ka, kb, kc, kd) , je-li k <> 0 .
Offline
#5 23. 06. 2011 16:24
Re: Určení roviny
↑ Rumburak:
Ta 3. rovnice by měla být : odm ze 2 = čitatel ( absolutní hodnota a+b+c+d) / jmenovatel (odmocnina z a^2 + b^2 + c^2)
a 4. rovnici, aby mi vypadla ta odmocnina, tak zvolím odmocnina z a^2 + b^2 + c^2 = odm. ze 2
ano?
Offline
#6 23. 06. 2011 16:45
#7 23. 06. 2011 16:50
Re: Určení roviny
↑ Rumburak:
No, tak jsem to myslel dobře.. A co s tím dále? Mám 3 rovnice o 4 neznámých. Zvolím 1 parametr a dopočítám a,b,c a dosadím do 4. rovnice za a,b,c?
Offline
#8 23. 06. 2011 17:08
Re: Určení roviny
↑ Miki314:
To by fungovat mělo, za paremetr bych zvolil d , dosazením a(d), b(d), c(d) do 4. rovnice dostaneme zřejmě kvadratickou rovnici pro d.
Offline
#9 23. 06. 2011 17:20
Re: Určení roviny
↑ Rumburak:
Ano, souhlasím. Vyšli mi 2 hodnoty d = 0, d= 8/7. To dosadím a vyjdou mi rovnice :
1. x+y = 0,
2. x+9y-4z+8 = 0
(pracoval jsem pouze s 1 absolutní hodnotou, pro 2. by byl postup stejný)
Mělo by to snad být správně.. Mrkni na to Rumburaku, a kdyžtak (pokud je to ok) označ za vyřešené. Děkuju za Tvuj čas, rady a ochotu..
Offline
#10 24. 06. 2011 11:10
Re: Určení roviny
↑ Miki314:
Výsledek d_1 = 0 , d_2 = 8/7 je správný .
Pokud bychom místo rovnice 
vzali 
, vyšlo by d_1 = 0 , d_3 = - 8/7 ,
ale pro d_3 = - 8/7 bychom nedostali nic nového, pouze by dosavadní koeficienty a, b, c spočítané pro d_2 = 8/7 změnily znaménko.
Offline