Matematické Fórum

zajda · 12. 06. 2008 12:48

Jedna strana obdélníku je o 3 cm kratší než strana druhá a jeho úhlopříčka o sqr 2 kratší než úhlopříčka čtverce, sestrojeného nad delší stranou. Určete rozměry obdélníku.

plisna · 12. 06. 2008 14:45

dve rovnice, dve nezname: $a+3=b, \quad \sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{2} = \sqrt{2}b$

zajda · 14. 06. 2008 18:40

Ahoj, můžu ještě poprosit o výpočet? Stále nevím jak počítat s tou odmocninou. Děkuji.

martanko

↑ zajda:
neni to tazke.. pouzi substituciu .. mas tam ze a+3=b, cize v druhej rovnici vyjadri b pomocou a+3. poupravuj co sa da a potom umocni pravu aj lavu stranu, ale daj si pozor, ked tam budes mat na jednej strane viac ako jeden clen tak musis umocnovat ako podla vzorca, preto napr.

$\sqr{2} - \sqr{2}b$
umocnujes podla vzorca $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ ... a uz len upravujes, pripadne riesis kvadraticku rovnicu ak ti nevypadnu kvaraticke cleny

Chrpa · 14. 06. 2008 23:25

$a+3=b, \quad \sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{2} = \sqrt{2}b$
Za b dosadíme do druhé rovnice a + 3 a dostaneme:
$sqrt{a^2+(a+3)^2} + \sqrt{2} = \sqrt{2}(a+3)$
$sqrt{a^2+a^{2}+6a+9}=\sqrt{2}(a+3)-\sqrt{2}$
$sqrt{2a^{2}+6a+9}=sqrt{2}(a+2)$ obě strany rovnice umocníme a dostaneme:
$2a^{2}+6a+9=2(a^{2}+4a+4)\nl2a^{2}+6a+9=2a^{2}+8a+8$
$2a=1\nla=\frac{1}{2}$
Výsledek dosadíme do první rovnice a dostaneme:
$b=a+3\nlb=3+\frac{1}{2}\nlb=\frac{7}{2}$

Rozměry obdélníka jsou $(a,\;b)\in(0,5;\;3,5)\;cm$