Matematické Fórum

squo · 25. 06. 2011 12:39

ahoj,
potreboval by som poradit, ako by ste vyratali
$lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

nejak sa tam vraj pouziva heine a polarne suradnice, ale fakt tomu nerozumiem :/

vdaka

Alivendes · 25. 06. 2011 13:00

↑ squo:
Zdravím, řekl bych, že se tady dá zapracovat s tímhle:
$lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1$

squo · 25. 06. 2011 13:04

a ako konkretne? ako chces previest limitu funkcie vice premennych na tuto ?

Alivendes

↑ squo:
Substitucí, ale nevím jistě, jestli se to může ..

$x^2+y^2=a$

Cynyc · 25. 06. 2011 14:28

↑ squo:
Myslím, že Heine a polární souřadnice nejsou nutné. Substituce za x^2+y^2 dává tušit, že limita bude 1, ale není to důkaz. Takže podle definice limity: označme $f(x,y)=\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ a mějme $\varepsilon>0$ . Chceme dokázat, že existuje $\delta>0$ takové, že pro každé $(x,y)\in P_\delta(0)$ je $|f(x,y)-1|<\varepsilon$ . Protože $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , existuje pro naše $\varepsilon$ takové $\delta'>0$ , že $0<|x|<\delta'\Rightarrow \left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<\varepsilon$ . Položme $\delta=\min\{\delta',1\}$ . Pak pro příslušná (x,y) platí $x^2+y^2\leq\sqrt{x^2+y^2}<\delta\leq\delta'$ a tedy podle předchozího $|f(x,y)-1|<\varepsilon$ , CBD.