Matematické Fórum

JayJay14 · 25. 06. 2011 14:05

Zdravím potřeboval bych pomoct 1.S limitou x->0 lim(x-1/ln(x)), kde mi vychází po l'H pravidlu 1/1/x a pokud dosadím za x 0 znamená to že limita neexistuje? 2. limita x->0+ lim(x*lnx) děkuju za pomoc

halogan

1) 1/(1/x) = x (ne pro všechna x, ale to nám teď nevadí)

Teď už půjde dosadit. Jestli teda nejsou další otázky k 1), můžeme začít s dvojkou:

2) x log x = log x / (1/x)

JayJay14 · 25. 06. 2011 14:19

↑ halogan: prvnímu příkladu rozumím, ale ten druhý se dále počítá opět pomocí l'H?

halogan

↑ JayJay14:

Třeba, v tomto případě to asi bude pohodlné. Dá se to udělat i přes per partes.

Marian · 25. 06. 2011 14:38 — Editoval Marian (25. 06. 2011 14:42)

↑ JayJay14:

První limita, tj. limita

$\lim_{x\to 0}\frac{x-1}{\ln (x)}$

neexistuje, protože funkce $f(x)=\ln (x)$ je definována pouze pro $\mathbb{R}^+$ . Tedy tato funkce není definována na levém prstencovém okolí bodu $x_0=0$ a tedy není možné nic soudit o limitě funkce $(x-1)/\ln (x)$ pro $x\to 0$ .

Má smysl vyšetřovat pouze jednostranný případ $x\to 0^+$ , protože v pravém okolí bodu $x_0=0$ funkce $\ln (x)$ a tudíž také funkce $(x-1)/\ln (x)$ definována je. V tomto případě dostáváme formální dosazením výraz typu $[-1/(-\infty)]$ . Odtud se snadno dá pozorovat, že studovaná limita existuje a je rovna nule.

Pokud bychom chtěli použít l'Hospitalovo pravidlo, musím připomenout, že se nejedná o klasický případ. Platí následující věta:

____________

Nechť $\color{blue}\lim_{x\to c^+}|g(x)|=+\infty$ a současně nechť existuje limita $\color{blue}\lim_{x\to c^+}f^\prime (x)/g^\prime (x)=k$ . Potom existuje také limita $\color{blue}\lim_{x\to c^+}f(x)/g(x)$ a platí

$\color{blue}\lim_{x\to c^+}\frac{f(x)}{g(x)}=k=\lim_{x\to c^+}\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}.$

____________

Tebou předložený případ souhlasí s uvedenou větou, pokud pokládáme $c=0$ , $f(x)=x-1$ a $g(x)=\ln (x)$ . Platí totiž

$\lim_{x\to 0^+}|g(x)|=\lim_{x\to 0^+}|\ln (x)|=+\infty.$

Předpoklad věty je tedy splněn a stačí ukázat případnou existenci limity podílu derivací funkcí $f(x)$ a $g(x)$ (v tomto pořadí). Platí ale

$\lim_{x\to 0^+}\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1/x}=\lim_{x\to 0^+}x=0=k.$

Protože tato limita existuje, zaručuje uvedená věta i existenci původní limity a obě mají dokonce stejnou hodnotu. Tedy, konečně,

$\lim_{x\to 0^+}\frac{x-1}{\ln (x)}=0.$

Druhá limita se dá řešit analogicky, neboť platí

$\lim_{x\to 0^+}x\cdot\ln (x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln (x)}{1/x}.$

Předpoklady uvedené věty jsou opět splněny.

Cynyc · 25. 06. 2011 14:39 — Editoval Cynyc (25. 06. 2011 14:40)

1) Je-li skutečně v nule, je L'Hospital zbytečný. Oboustranně neexistuje, zprava je podle věty o aritmetice limit rovna $\frac{-1}{-\infty}=0$ . Spíše bych ale čekal, že bude v 1, a tam lze L'H použít a do výsledku dosadit.
2) Buď převést na L'H, jak výše radí halogan, nebo upravit na $\lim_{x\to 0+}\frac{-\log \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=-\lim_{y\to \infty}\frac{\log y}{y}=0$ .

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2011 14:05

limita funkce(l'Hospitalovo pravidlo)

#2 25. 06. 2011 14:09 — Editoval halogan (25. 06. 2011 14:09)

Re: limita funkce(l'Hospitalovo pravidlo)

#3 25. 06. 2011 14:09 — Editoval teolog (25. 06. 2011 14:10) Příspěvek uživatele teolog byl skryt uživatelem teolog. Důvod: Halogan byl rychlejší a úplnější :)

#4 25. 06. 2011 14:19

Re: limita funkce(l'Hospitalovo pravidlo)

#5 25. 06. 2011 14:24 — Editoval halogan (25. 06. 2011 14:24)

Re: limita funkce(l'Hospitalovo pravidlo)

#6 25. 06. 2011 14:38 — Editoval Marian (25. 06. 2011 14:42)

Re: limita funkce(l'Hospitalovo pravidlo)

#7 25. 06. 2011 14:39 — Editoval Cynyc (25. 06. 2011 14:40)

Re: limita funkce(l'Hospitalovo pravidlo)

Zápatí