Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Transformace souřadnic v trojném integrálu (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 25. 06. 2011 22:43 — Editoval nov (26. 06. 2011 18:25)
Transformace souřadnic v trojném integrálu
Zdravím, potřebuji poradit s touto úlohou:
Pro parametry a>0, b>0, c>0 uvažujme následující transformaci souřadnic:
Z (r,f,p) do (x,y,z):
X = a*r*cos(f)*sin(p)
Y = b*r*sin(f)*sin(p)
Z = c*r*cos(p)
1) Určete Jacobovu matici této transformace souřadnic.
2) Určete jacobián. ( mně vyšel: -a*b *c*r^2*sin(p)*cos(p)^2)
3) Vypočtěte objem tělesa vymezeného elipsoidou a poloosamy a,b,c tj. vypočtěte míru množiny:
Ω = { (x,y,z) nalezi R^3: x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 <= 1 }
V 1) a 2) Myslím, že nemam problém. Problém nastane, když mam najít nové meze trojného integrálu s proměnnými r,f,p.
Když dosadím do předpisu elipsoidy, tak mi akorát vyjde:
-1<= r <=1
budu rád za jakoukoliv radu
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) nov)
#2 25. 06. 2011 23:25 — Editoval maly_kaja_hajnejch-Lazov (25. 06. 2011 23:27)
- maly_kaja_hajnejch-Lazov
- Příspěvky: 467
- Reputace: 24
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
ad 2) jakobian nemuze vyjit zaporny
ad 3) r nemuze byt zaporny, takze -1<= r <=1 se da zlepsit na 0<=r<=1. parametry p a f budou probihat cely povoleny interval, podobne jako kdyz se trojnym integralem pocita objem koule.
Edit: vetsinou specham, takze pozdrav a podobne veci jsem vynechal, omlouvam se timto i vsem dalsim, kterym odpovidam jenom "na pul huby" :)
Offline
#3 26. 06. 2011 09:48 — Editoval nov (26. 06. 2011 09:49)
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:
Jak to, že nemůže vyjít jacobián záporný? Jsem ho přepočítal, ale vyšel mi opět záporný. A v definicích jsou použity obsolutní hodnoty jacobiánu, tak si myslím, že může být záporný.
Offline
#4 26. 06. 2011 10:47
- maly_kaja_hajnejch-Lazov
- Příspěvky: 467
- Reputace: 24
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
↑ nov:Jo aha, moje blbost, nekde tomu rikaji jakobian az po vypoctu te absolutni hodnoty, ale spravne to je jenom determinant. Takze zaporny byt muze. Uz se radsi nebudu hlasit :)
Offline
#5 26. 06. 2011 14:06
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:
pohoda=)
ty meze teda budu uvažovat:
p od 0 do pi/2
f od 0 do pi/2
r od 0 do 1
píšu to správně? mě totiž mate že to nejsou klasické tabulkové souřadnice. Znám jen polární, válcové a sférické.
Offline
#6 26. 06. 2011 16:40
- maly_kaja_hajnejch-Lazov
- Příspěvky: 467
- Reputace: 24
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
Jsou to sferice souradnice, ale jenom natazene, takze f od nuly do 2*pi.
Kontrola bude: pokud a=b=c=1, tak V=4*pi/3
Offline
#7 26. 06. 2011 17:43 — Editoval nov (26. 06. 2011 17:44) Příspěvek uživatele nov byl skryt uživatelem nov.
#8 26. 06. 2011 18:01 — Editoval nov (26. 06. 2011 18:11)
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:
podle WolframujAlfa mi to vyjde 2*pi/9. Už jsem v tom nějak zamotaný...
sférické souřadnice jsou:
x = r*cos(f)*cos(p)
y = r*sin(f)*cos(p)
z = r*sin(p)
není rozdíl podle mě jen v tech poloosách a,b,c. Ty souřadnice co jsou v zadání jsou nějaky jiný.
Offline
#9 26. 06. 2011 19:03 — Editoval maly_kaja_hajnejch-Lazov (26. 06. 2011 19:04)
- maly_kaja_hajnejch-Lazov
- Příspěvky: 467
- Reputace: 24
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
Aha, ted jsem si vsiml ze ten jacobian je spatne.
Code:
----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 4.6.1, Release Date: 2011-01-11 |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information. |
----------------------------------------------------------------------
sage: a,b,c,r,f,p=var('a,b,c,r,f,p')
sage: X = a*r*cos(f)*sin(p)
sage: Y = b*r*sin(f)*sin(p)
sage: Z = c*r*cos(p)
sage: jacobian((X,Y,Z),(r,f,p))
[ a*sin(p)*cos(f) -a*r*sin(f)*sin(p) a*r*cos(f)*cos(p)]
[ b*sin(f)*sin(p) b*r*sin(p)*cos(f) b*r*sin(f)*cos(p)]
[ c*cos(p) 0 -c*r*sin(p)]
sage: jacobian((X,Y,Z),(r,f,p)).det()
-a*b*c*r^2*sin(f)^2*sin(p)^3 - a*b*c*r^2*sin(p)^3*cos(f)^2 - (a*b*r^2*sin(f)^2*sin(p)*cos(p) + a*b*r^2*sin(p)*cos(f)^2*cos(p))*c*cos(p)
sage: (_).simplify_full()
-a*b*c*r^2*sin(p)Porad si myslim ze sfericke souradnice to jsou, viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A9ri … C5%99adnic
To, co piste Vy je neco podobneho, ale uhel p se odmeruje jinak nez u "klasicke sferickoe soustavy souradnic". Snad jsem to ted nepopletl.
Offline
#10 26. 06. 2011 19:52
Re: Transformace souřadnic v trojném integrálu
↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:
Jo už to vidím. jsem mel špatně Jacobovu matici:
[ a*sin(p)*cos(f) -a*r*sin(f)*sin(p) a*r*cos(f)*cos(p)]
[ b*sin(f)*sin(p) b*r*sin(p)*cos(f) b*r*sin(f)*cos(p)]
[ c*cos(p) -c*r*sin(p) 0]
všechno už je v pohodě. Kvuli takový hovadině....
Díky moc!!
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Transformace souřadnic v trojném integrálu (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)