Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 30. 06. 2011 00:42 — Editoval Michaerl (30. 06. 2011 00:44)
Nekonečná řada - paradox
Zdravím všechny,
prosím vás, mám tu takovou lahůdku.... uměli byste to někdo vysvětlit nebo dát reference?... je to paradox nekonečna:)
máme řadu , která má součet S
je definována takto
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1... a tak dále až do nekonečna
1. uspořádání
S = 1 + (-1 + 1) + ( -1 + 1)... součet je pravděpodobně roven 1
2. uspořádání
S = (1 - 1) + (1 - 1)..... součet je pravděpodobně roven 0
vezmeme-li první řadu a vyjádříme ji v druhé - máme S = 1 - S S = 1/2
Závěr: sčítáme-li nekonečně mnoho nul, výsledkem je nekonečně mnoho čísel ( jedničku můžeme nahradit jakýmkoliv číslem)
Jak je to možné?:) Děkuji moc za odpověď a za čas stráveným nad příkladem:)
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Michaerl)
#2 30. 06. 2011 06:49
Re: Nekonečná řada - paradox
↑ Michaerl:
Jde o to, jak je definována nekonečná řada, potažmo její součet. Ukazuje se, že chápat její součet ve smyslu nějaké číselné hodnoty je velmi plytké a nepohodlné (i když opak se zdá být pravdou).
Uvedená řada, kterou označuješ pouze (!) formálně symbolem 
není příkladem řady, která se dá sečíst v klasickém smyslu (tzv. součet v Cauchyově smyslu). Nelze tedy ani očekávat od takovéto řady zachování vlastností podobných těm s čísly (tj. asociativita sčítání). Tedy to, co označuješ jako 1. resp. 2. uspořádání není pravdivé. Ale navíc, nelze konstruovat číselnou rovnici pro symbol , pokud tento neexistuje.
Pokročilejší partie teorie nekonečných řad potom zavádějí jiné (obecnější) metody sumace. Ukazuje se, že tzv. Abelova sumace této (v Cauchyově smyslu) divergentní řady je rovna právě hodnotě 
.
Co se týče uzávorkování nekonečných řad, tak to je docela problém a nelze jej příliš dobře vykonávat tak, jak jsme zvyklí. Dokonce ani konvergence nekonečných řad není dostatečná - je třeba dalších restriktivních podmínek na sčítance řady.
Přečíst si můžeš knihy (resp. příslušné kapitoly):
Holenda, Řady,
Jarník V., Diferenciální počet I.
Knopp K. Infinite Sequences and Series.
Jsou to ovšem knihy, které vyžadují jisté abstraktní myšlení a nečekám, že na střední škole by je někdo mohl efektivně studovat.
Offline