Matematické Fórum

candid5 · 15. 06. 2008 10:46

achoj potřebuju pomoct s těmito příklady nejlépe abych pochopila postup díky za pomoc:)
a). Geometrická posloupnost o šesti členech má součet všech šesti členů roven 63; součet sudých členů má hodnotu 42. Určete tuto posloupnost.

b). Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 21, součet jejich druhých mocnin je 189. Určete tyto členy.

c).Vsedmičlenné geometrické posloupnosti je součet prvních tří členů 26 a posledních tří 2 106. Určete tuto posloupnost.

thriller · 15. 06. 2008 10:57

a)

První číslo v té posloupnosti označím jako "a".
Každé další je "q" násobkem toho předchozího, takže máme šest členů posloupnosti ve tvaru a, q*a, q^2*a, q^3*a, q^4*a, q^5*a

Součet druhého, čtvrtého a šestého čísla je 42: tzn. q*a + q^3*a + q^5*a = 42
Součet všech čísel je 63: tzn. a + q*a + q^2*a + q^3*a + q^4*a + q^5*a = 63

Z první rovnice vytknu a, z druhé rovnice dám k sobě druhý, čtvrtý a šestý člen jejichž součet je oněch 42, což mi mírně zjednoduší rovnice.

(q+q^3+q^5)a=42 (1)
(1+q^2+q^4)a=21. (2)

Z první rovnice ještě vytknu q a pak uvidím, že tam můžu dosadit to, co je v druhé rovnici:

q(1+q^+q^4)a = q*(21) = 42

Takže část výsledku je q = 2. Neboli, a? je první číslo v posloupnosti jajkékoliv, je každé další číslo dvojnásobkem toho předchozího. Teď zbývá vypočítat to první číslo "a". K tomu použiju druhou rovnici (2) ve které za q dosadím vypočtenou hodnotu 2.

21a=21

První číslo posloupnosti je a = 1. Zkouška součet čísel 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 je skutečně 63.

Chrpa · 15. 06. 2008 17:17 — Editoval Chrpa (15. 06. 2008 18:24)

c)
$a_1+a_2+a_3=26$
$a_5+a_6+a_7=2106$
$a_1(1+q+q^{2})=26\nl(1+q+q^{2})=\frac{26}{a_1}$
$a_5(1+q+q^{2})=2106\nl(1+q+q^{2})=\frac{2106}{a_5}$
$\frac{26}{a_1}=\frac{2106}{a_5}\nla_5=81a_1\nla_1q^{4}=81a_1$
$q^{4}=81\nlq=\pm3$
$a_1=\frac{26}{1+q+q^{2}$
$a_1=\frac{26}{1+3+9}\nla_1=2$
$a_2=a_1\cdot q\nla_2=2\cdot 3=6$

Teď už snadno dopočítáme ostatních 5 členů posloupnosti
$a_1=2\;a_2=6\;a_3=18\;a_4=54\;a_5=162\;a_6=486\;a_7=1458$

Chrpa · 15. 06. 2008 18:09

b)
$a_1+a_2+a_3=21$
$a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}=189$
$a_1(1+q+q^{2})=21$
$a_1^{2}\left(1+q+q^{2}\right)^{2}=441$
$a_1^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)=189$
Porovnáním obou rovnic dospějeme k reciproké rovnici:
$2q^{4}-3q^{3}-q^{2}-3q+2=0$
rovnici vydělíme $q^{2}$ můžeme $q\ne0$ a dostaneme:
$2(q^{2}+\frac{1}{q^{2}})-3(q+\frac{1}{q})-1=0$
Zavedeme substituci:
$q+\frac{1}{q}=t$ a dostaneme kvadratickou rovnici:
$2t^{2}-3t-5=0$ řešením této rovnice je:
$t_1=\frac{5}{2}\nlt_2=-1$ Vrátíme se k substituci
$q+\frac{1}{q}=\frac{5}{2}$ úpravou dostaneme kvadratickou rovnici:
$2q^{2}-5q+2=0$ řešením této rovnice je
$q=2$
Tedˇuž je snadné dopočítat členy geometrické posloupnosti
$a_1=\frac{21}{1+q+q^{2}}\nla_1=\frac{21}{1+2+2^{2}}\nla_1=3$
$a_2=3\cdot2=6\nla_3=6\cdot2=12$
$a_1=3\;a_2=6\;a_3=12$