Matematické Fórum

pepa999 · 30. 06. 2011 23:27

Vůbec si nevím rady s tímto příkladem:

$\sin (x+y)=\sin x + \sin y$

$x,y \in R$

zdenek1

↑ pepa999:
$2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x+y}2=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2$

a) $\sin\frac{x+y}2=0$
$x+y=2k\pi$ víc z toho nedostaneš, potřeboval bys druhou rovnici

b) $\cos\frac{x+y}2=\cos\frac{x-y}2$
$x+y=\pm(x-y)+\color{red}4\color{black}k\pi$
b1) $y=2k\pi$ , $x\in\mathbb R$
b2) $x=2k\pi$ , $y\in\mathbb R$

pepa999 · 01. 07. 2011 11:35

Dík...Měl bych ještě připomínku k tomu bodu b), který jsem si ještě dále upravil a vyšlo mi jiné řešení.
$\cos \frac{x+y}{2}=\cos \frac{x-y}{2}$

$\cos (x/2 + y/2) = \cos (x/2 - y/2)$

$\cos (x/2)*\cos (y/2) - \sin (x/2)*sin(y/2) = \cos (x/2)*\cos (y/2) + \sin (x/2)*\sin (y/2)$

$2*\sin (x/2)*sin(y/2) = 0$

Protože je na pravé straně 0, je následující úprava ekvivalentní

$\sqrt{(1-cosx)/2}*\sqrt{(1-cosy)/2}=0$

odtud dostáváme řešení

$x = k*2\pi, y \in R$
$y = k*2\pi, x \in R$
$x+y = k*2\pi$

$x = k*\pi, y \in R$ to být nemůže. Uvažujme například x = 180°, y = 90°

sin (x+y) = sin x + sin y

sin (180° + 90°) = sin 180° + sin 90°

-1 = 1

zdenek1 · 01. 07. 2011 12:16

↑ pepa999:
ANo, byla tam chyba, už jsem ji opravil.
Tvůj spůsob je prostě zbytečně složitej.

Honzc · 01. 07. 2011 13:29 — Editoval Honzc (01. 07. 2011 13:29)

↑ zdenek1:
Proč by výsledek nemohl být $x=y=k\pi$ ?

Annnnnd · 01. 07. 2011 13:33

nema nahodou sin(x + y ) vzorec sinx . cosy + cosx . siny

pepa999 · 01. 07. 2011 13:47

Honzc: x = y = k*pí patří mezi výsledky, je to zahrnuté v x+y=k*2pí. Jsou zde ale i další řešení.

Annnnnd: to ano, ale také sin (x+y) = sin (2*(x+y)/2) = 2*sin((x+y)/2)*cos((x+y/)2).......podle vzorce sin 2x = 2*sinx*cosx

Honzc · 01. 07. 2011 13:53

↑ pepa999:
Máš pravdu, už ani s mým zrakem to není co to bývalo, neboť jsem toto řešení přehlédl.

Annnnnd · 01. 07. 2011 14:02

↑ pepa999:jj uz to vidim

nehalem · 01. 07. 2011 15:23

$x+y=2k\pi$
Tomuto veľmi nerozumiem. Nerovná sa sínus nule aj v PI aj v 2PI? prečo je tam interval 2kPI a nie iba kPI?

pepa999 · 01. 07. 2011 15:52

Protože pokud je součet pouze x+y=k*pi, tak to nestačí... sin (x+y) sice bude 0, ale sin x + sin y nula být nemusí. Například pro x = pi/2, y = pi/2 je jejich součet roven nějakému násobku pi, konkrétně 1*pi...(pi/2 + pi/2 = 1*pi).....ale sin x + sin y je pro takové hodnoty roven číslu 2 (sin (pi/2)=1).

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2011 23:27

Další náročná goniometrická rovnice

#2 01. 07. 2011 09:15 — Editoval zdenek1 (01. 07. 2011 12:15)

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#3 01. 07. 2011 11:35

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#4 01. 07. 2011 12:16

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#5 01. 07. 2011 13:29 — Editoval Honzc (01. 07. 2011 13:29)

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#6 01. 07. 2011 13:33

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#7 01. 07. 2011 13:47

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#8 01. 07. 2011 13:53

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#9 01. 07. 2011 14:02

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#10 01. 07. 2011 15:23

Re: Další náročná goniometrická rovnice

#11 01. 07. 2011 15:52

Re: Další náročná goniometrická rovnice

Zápatí