Matematické Fórum

Sulfan · 05. 07. 2011 12:45

Ahoj,

pokouším se dopracovat k odvození derivace ln(x) z definice. Tuším, že bych měl použít známou limitu $\lim_{h->0}\frac{ln(h+1)}{h}=1$

Začal jsem klasickou definicí:
$\lim_{x->x_{0}}\frac{ln(x)-ln(x_{0})}{x-x_{0}}$

a pak jsem se snažil docpat výraz v limitě k té tabulkové a aritmetikou limit něco vytknout nebo pokrátit:

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{x-%3Ex_{0}}\frac{ln%28x%29-ln%28x_{0}%29}{x-x_{0}}=\lim_{x-%3Ex_{0}}\frac{ln%28\frac{x}{x_{0}}%29}{x-x_{0}}=\lim_{x-%3Ex_{0}}\frac{ln%28\frac{x}{x_{0}}%29+{\color{Red}%20ln%28\frac{x_{0}%28x-x_{0}+1%29}{x}%29}{%20\color{Red}%20-ln%28\frac{x_{0}%28x-x_{0}+1%29}{x}%29}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x->x_{0}}\frac{ln(x-x_{0}+1)-ln(\frac{x_{0}\cdot (x-x_{0}+1)}{x})}{x-x_{0}}=\lim_{x->x_{0}}\frac{ln(x-x_{0}+1)}{x-x_{0}}-\lim_{x->x_{0}}\frac{ln(\frac{x_{0}\cdot (x-x_{0}+1)}{x})}{x-x_{0}}$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{h-%3E0}\frac{ln%28h+1%29}{h}-\lim_{x-%3Ex_{0}}\frac{ln%28\frac{x_{0}\cdot%20%28x-x_{0}+1%29}{x}%29}{x-x_{0}}=1-{%20\color{Blue}%20\lim_{x-%3Ex_{0}}\frac{ln%28\frac{x_{0}\cdot%20%28x-x_{0}+1%29}{x}%29}{x-x_{0}}}$

Ale s tou druhou limitou nějak nemůžu hnout, protože se buďto dostanu k nedefinovanému výrazu nebo se dostanu opět na začátek.

Za každý hint děkuji.

jarrro · 05. 07. 2011 13:00 — Editoval jarrro (05. 07. 2011 13:01)

ak je $\lim_{h\to 0}\frac{\ln(h+1)}{h}=1$ známa tak aj $\lim_{h\to 1}\frac{\ln(h)}{h-1}=1$ a
$\lim_{x\to x_0}{\frac{\ln{\left(\frac{x}{x_0}\right)}}{x-x_0}}=\frac{1}{x_0}\cdot\lim_{x\to x_0}{\frac{\ln{\left(\frac{x}{x_0}\right)}}{\frac{x}{x_0}-1}}=\frac{1}{x_0}$

Sulfan · 05. 07. 2011 13:28

↑ jarrro: Trikové řešení :) Jinak ta limita pro mě byla doposud neznámá (spíše mě nenapadlo obměnit to h). Děkuji ještě jednou.

Matematické Fórum

#1 05. 07. 2011 12:45

Derivace ln(x)

#2 05. 07. 2011 13:00 — Editoval jarrro (05. 07. 2011 13:01)

Re: Derivace ln(x)

#3 05. 07. 2011 13:28

Re: Derivace ln(x)

Zápatí