Matematické Fórum

Jurol · 14. 07. 2011 16:20

Zdravím, znova sa ondím s nerovnosťami - dlhá chvíľa cez prázdniny :) - a narazil som na problém, kde by som uvítal pomoc. Takže:

Nech a,b,c sú kladné čísla a ich súčin je rovný jednej. Dokáž:
$\frac{1}{a^3(b+c)} +\frac{1}{b^3(a+c)}+ \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}$

Skúšal som to rozšíriť výrazom na tvar
$\frac{b^2c^2}{a^3b^2c^2(b+c)} +\frac{a^2c^2}{a^2b^3c^2(a+c)}+ \frac{a^2b^2}{a^2b^2c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}$ , v menovateľoch som využil fakt, že $abc=1$ a ostalo mi
$\frac{b^2c^2}{a(b+c)} +\frac{a^2c^2}{b(a+c)}+ \frac{a^2b^2}{c(b+a)} \geq \frac{3}{2}$ , teraz som využil Cauchyho nerovnosť v tvare ktorý tu označujú ako "zlomkobijec" a vyšla mi nerovnosť
$\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac32$ , po vykrátení $(ab+bc+ca) \geq 3$ . Problém nastáva tu a to preto lebo nemám pocit, že by táto získaná nerovnosť platila pre všetky kladné a,b,c.

Skúšal som to rozšíriť aj iným výrazom, vychádzali desné veci, tak neviem.

byk7 · 14. 07. 2011 17:10

řešil jsem to zde

Jurol · 14. 07. 2011 18:04

diky :D som to prehliadol... aspon viem, že som na to išiel pomerne dobre, to posledné s AG nerovnosťou ma napadlo pred chvilou v sprche, len som si nebol isty či to môžem spraviť.

Matematické Fórum

#1 14. 07. 2011 16:20

Nerovnosť - Cauchyho

#2 14. 07. 2011 17:10

Re: Nerovnosť - Cauchyho

#3 14. 07. 2011 18:04

Re: Nerovnosť - Cauchyho

Zápatí