Matematické Fórum

paulxxx · 16. 06. 2008 11:00

Dlzky odvesien pravouhleho trojuholnika tvoria prve dva cleny geometrickej postupnosti, dlzka prepony trojuholnika je tretim clenom postupnosti. Kvocient tejto geometrickej postupnosti sa rovná:

A) $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

B) $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$

C) ${\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

D) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

E) ziadna z moznosti A-D nie je spravna

ttopi · 16. 06. 2008 11:11

No vezmu-li v potaz, že přepona je nejdelší stranou pravoúhlého trojúhelníka a je to třetí člen geometrické posloupnosti, musí být kvocient větší než 1 - to splňují pouze možnosti A) a C).

Cheop · 16. 06. 2008 11:15 — Editoval Cheop (16. 06. 2008 12:00)

↑ paulxxx:
Správná odpověď je A)
Strany trojúhelníka a,b,c
platí:
$a=a\nlb=a\cdot q\nlc=a\cdot q^{2}$ kde q je kvocient řady
Z pravoúhlého trojúhelníka platí:
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$a^{2}+a^{2}\cdot q^{2}=a^{2}\cdot q^{4}$
$q^{4}-q^{2}-1=0$ zavedeme substituci $q^{2}=t$ a dostaneme:
$t^{2}-t-1=0$ řešením je
$t_1_2=\frac{1}{2} \pm\frac {sqrt 5}{2}$
Vrátíme se k substituci a dostaneme:
$q=sqrt t$ což je:
$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ tedy možnost A)
PS druhý kořen kvadratické rovnice je záporné číslo což u stran trojúhelníka jaksi nelze.

paulxxx · 16. 06. 2008 11:18

↑ Cheop:

a nemohol by si tu dat aj postup, lebo mne vysla ina moznost.....

ttopi · 16. 06. 2008 11:38

Taky jsem došel k A)
Neumím to vyjádřit početně, ale jak už jsem předtím psal, v úvahu přicházejí pouze možnosti A) a za C)
Když spočtu hodnotu kvocientu tak je to u A) 1,27 zaokrouhleně a u C) 1,618 zaokrouhleně.
Vzhledem k tomu, že v trojúhelníku má být součet libovolných 2 stran větší než délka zbývající strany, vypadne mi možnost C) 1,618, protože tam to zjevně neplatí.

Vyplívá mi tedy možnost A), ovšem jsem moc zvědavý na početní řešení :-))

paulxxx · 16. 06. 2008 11:48

prepocital som si to a vyslo mi $\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}$

ttopi · 16. 06. 2008 11:49

Což dá výsledek, jako A).
Jakým způspobem jsi to počítal?

jelena · 16. 06. 2008 11:53

↑ ttopi:

Zdravim :-)

prostredni clen oznacit za a, predchozi je a/q, nasledujici aq. Pythagorova veta. OK?

Cheop · 16. 06. 2008 11:55

↑ ttopi:
Už jsem to v mém příspěvku dal i s postupem

ttopi · 16. 06. 2008 11:56 — Editoval ttopi (16. 06. 2008 11:58)

↑ jelena:
Ahoj:-)

Tomu poměrně rozumím, ale kde se tam pak vezmou ty čísla, jako třeba 5 nebo 2 ? :-)

EDIT: Už vidím, výborně Cheop :-)

jarrro · 16. 06. 2008 12:10 — Editoval jarrro (04. 12. 2020 11:03)

ja si myslím,že početne je to takto $b=qa\nlc=q^2a\nl\sqrt{a^2+b^2}=c\nl\sqrt{a^2+q^2a^2}=q^2a\nl\sqrt{1+q^2}=q^2\nl1+q^2=q^4\nlq^4-q^2-1=0\nlt=q^2\nlt^2-t-1=0\nlt=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\nlq=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ edit:pardon nevšimol som si,že to tu už je inak platí,že $\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ stačí ten prvý zlomok najprv rozšíri? číslom $\sqrt{5}+1$ a potom kráti? číslom 2

jelena · 16. 06. 2008 12:14

↑ ttopi:

Kolega ↑ Cheop:, ktereho take srdecne zdravim uz to rekl (a jako vzdy presne, mel pouze trochu jine usporadani a, q, nez ja. :-)

Myslim, ze jsem uz tady rikala pomucku, ze pokud jsou cleny geometricke posloupnosti za sebou, tak se postavim uprostred a provedu to, co jsem psala. Pokud je to aritmeticka - stejny napad, jen s pricitanim a odecitanim d. Je pak velka nadeji, ze v prikladech, kde se pouziva scitani nebo nasobeni, to se "vyresi samo" - a to je prece nas cil :-)

Hezky den :-)

Cheop · 16. 06. 2008 12:22 — Editoval Cheop (16. 06. 2008 12:23)

↑ jelena:
Zdravím též a podotýkám:
U aritmetické posloupnosti je nápad s prostřením členem velice často využíván, pak většinou vyjde nějaký další člen.
Např: $a_1+2d=8= a_3$ protože
$a_1+2d$ je skutečně člen $a_3$ .
U geometricé posloupnosti je to trošičku složitejší, ale většinou se to dá udělat tak, že se porovnají dva stejné výrazy a ono z toho vždy něco vyjde.

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2008 11:00

geometricka postupnost

#2 16. 06. 2008 11:11

Re: geometricka postupnost

#3 16. 06. 2008 11:15 — Editoval Cheop (16. 06. 2008 12:00)

Re: geometricka postupnost

#4 16. 06. 2008 11:18

Re: geometricka postupnost

#5 16. 06. 2008 11:38

Re: geometricka postupnost

#6 16. 06. 2008 11:48

Re: geometricka postupnost

#7 16. 06. 2008 11:49

Re: geometricka postupnost

#8 16. 06. 2008 11:53

Re: geometricka postupnost

#9 16. 06. 2008 11:55

Re: geometricka postupnost

#10 16. 06. 2008 11:56 — Editoval ttopi (16. 06. 2008 11:58)

Re: geometricka postupnost

#11 16. 06. 2008 12:10 — Editoval jarrro (04. 12. 2020 11:03)

Re: geometricka postupnost

#12 16. 06. 2008 12:14

Re: geometricka postupnost

#13 16. 06. 2008 12:22 — Editoval Cheop (16. 06. 2008 12:23)

Re: geometricka postupnost

Zápatí