Matematické Fórum

tomas85 · 18. 07. 2011 12:07

Zdravím Vás. Objavil som jeden vzorec pre výpočet exponenciálnej funkcie na intervale 0 až 1, v tvare exp(x)=(2,122x/(8,469-x)+1)^4 (bola uvedená v starej ruskej knihe o rádioelektronike bez popisu). Výpočet je presný na štyri desatinné miesta. Zaujímalo by ma či ste sa s týmto vzorcom stretli aký je jeho pôvod. Predpokladám, že je odvodený z Taylorovho rozvoju do štvrtého rádu, ale upraviť sa mi ho na tento tvar nepodarilo. Bol by som vďačný ak by ste mi vedeli poradiť alebo odvolať ma na nejakú literatúru.

check_drummer · 18. 07. 2011 20:26

Nevím, zda je odvozen z Taylorova vzorce, když se jedná o racionálně lomennou funkci.
Možná se prostě jedná o metodou nejmenších čtverců zjištěný tvar funkce ((ax+b)/(cx+d))^4, která na daném intervalu nejlépe aproximuje exponencielu.

FliegenderZirkus · 18. 07. 2011 23:46

↑ check_drummer:

Zkusil jsem si to spočítat a moc mi to nejde. Dá se ta úloha formulovat tak, že hledáme
$\underset{a,b,c,d\in\mathbb R}{\operatorname{arg\,min}} \int\limits_0^1 \left( \left( \frac{ax+b}{cx+d}\right)^4 -e^x \right)^2 \mathrm{d}x$ ?
Kdyby ten integrál šel spočítat analyticky ( $\int_0^1 (\ldots)^2 \mathrm{d}x=f(a,b,c,d)$ ), tak by minimum šlo najít derivováním f (i kdyby třeba jen numericky ze vzniklé soustavy nelineárních rovnic). Takhle si ale ani to přibližné řešení minimalizace neumím představit.

Příklad jak to myslím s přímkou:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 19. 07. 2011 17:15

↑ FliegenderZirkus:
Jetě je možnost zkusit dosadit 4 body x z toho intervalu a pro ně určit aproximaci. Otázka je, které body zvolit. Buď volit více čtveřic a sledovat, jaké koeficienty nám budou vycházet a pak vzít nějaký průměr a nebo třeba volit 1/4,1/2,3/4.
Jde o to, že hledáme aproximaci, takže vlastně nemusíme být přesní v žádném z našich kroků. :-) Samozřejmě, čím nepřesnější budeme, tím nepřesnější bude aproximace.

FliegenderZirkus

↑ check_drummer: ↑ tomas85:

Zkusil jsem napsat

$\int\limits_0^1 \left( \left( \frac{ax+b}{cx+d}\right)^4 -e^x \right)^2 \mathrm{d}x\approx 0,1\cdot \sum_{j=0}^{9}$ \( \frac{0,1aj+b}{0,1cj+d} $^4 -e^{0,1j} \)^2$ , což už jde na počítači zderivovat snadno a vypadlo mi
$&a \doteq 5,58 \\ &b \doteq 39,09\\ &c \doteq 4,31\\ &d \doteq -39,11$ ,
což je skoro přesně výše uvedená funkce, až na to, že ten zlomek před umocněním na čtvrtou má opačné znaménko. Kdybychom místo kroku 0,1 použili menší nebo kdybychom použili lepší metodu numerické integrace, tak to vyjde ještě přesněji.

EDIT: tady jsou grafy.

mák · 19. 07. 2011 21:33

Zkusil jsem rovnici $e^{y}=\left({{x\,A}\over{B-x}}+1\right)^4$ aproximovat pro určitý počet bodů v programu wxMaxima.

Koeficienty A a B pak vycházejí pro matici M o daném počtu bodů [10, 16, 20, 50, ....]:

Code:

M:10   [A=2.124004428541751,B=8.476393055261328]
M:16   [A=2.122128498939257,B=8.46945427462579]
M:20   [A=2.121454705166431,B=8.466961284635923]
M:50   [A=2.119735673074338,B=8.46059846000051]
M:100  [A=2.119129674376192,B=8.458354466023742]
M:1000 [A=2.118570028254868,B=8.456281652458657]
M:2000 [A=2.118538543762789,B=8.456165024709215]
M:4000 [A=2.11852278084603, B=8.456106634387382]
M:8000 [A=2.118514896934358,B=8.456077428818746]

Je vidět, že i oni ji aproximovali a největší shoda je na 16 bodech.

check_drummer · 19. 07. 2011 21:59

Jasně, pro nejmenší čtverce lze vlastně použít víc bodů než parametrů. Bylo by zajímavé volit různé tvary funkcí (ne jen lineárně lomenná na čtvrtou), zda by se nalezla lepší aproximace.

Stýv · 20. 07. 2011 12:30

↑ check_drummer: samozřejmě, že by se našla lepší aproximace

pietro · 20. 07. 2011 13:07 — Editoval pietro (20. 07. 2011 13:07)

Ahojte, ešte Henri Padé v tejto oblasti zanechal nezmazateľné stopy.

http://bluehome.net/~praveen/notes/node23.html

check_drummer · 20. 07. 2011 18:05

↑ Stýv:
Samozřejmě by bylo vhodné volit nějaký kompromis, aby přesnost aproximace nebyla na úkor "složitosti" aproximující funkce.

Matematické Fórum

#1 18. 07. 2011 12:07

Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#2 18. 07. 2011 20:26

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#3 18. 07. 2011 23:46

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#4 19. 07. 2011 17:15

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#5 19. 07. 2011 18:15 — Editoval FliegenderZirkus (20. 07. 2011 11:28)

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#6 19. 07. 2011 21:33

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

Code:

#7 19. 07. 2011 21:59

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#8 20. 07. 2011 12:30

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#9 20. 07. 2011 13:07 — Editoval pietro (20. 07. 2011 13:07)

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

#10 20. 07. 2011 18:05

Re: Aproximácia exponenciálnej funkcie na intervale <0,1>

Zápatí