Matematické Fórum

Zdravim.

Neml to byt spis 1bar? Nebo tam je fakt vakuum? Ale to na úloze vlastne moc nemění.

Úloha je zadaná tak, že nádoba má na jednom otvoře tlak p1 a na druhém otvoře teda tlak p2 (trohu jsem si to přeznačil). V nádobě je na začátku všude tlak p2. Což znamená, že u prvního otvoru je prudký skok v tlaku roven p2-p1. Plyn bude dost rychle ze začátku proudit, dokud nedojde k ustálení do nějaké rovnovážné polohy a v rámci nádoby bude od jednoho otvoru ke druhému plynule klesat tlak od p1 k p2. Záleží na geometrii nádoby. To, jak se bude menit tlak v nadobe nez dojde k ustaleni bude dost slozite a dramticky záleží na geometrii nádoby. Prakticky to ale bude rychle jak prase :-). Rovnovážná poloha pak bude vypadat tak, že bude proudit otvory vzduch rychlostmi v1 prvním tovorem a v2 druhým tovorem -> to se spočte z rovnic




což je rovnice kontinuity a pohybová (Bernoulliho) rovnice. Máme dvě rovnice, ale kromě dvou rychlostí ještě neznámé hustoty. Ty budou odpovídat ideálnímu plynu.



Kde se objevuje sice hromada konstant, ale nám stačí znát závislost tlak - hustota. K tomu potřebujeme znát jednu jistou konkstantu a to je hustota plynu při nějaké konkrétním tlaku. U nás to bude patrně hustota vzduchu v atmosferickém tlaku zhruba 1,2 kg/m^3. Označím rho 0. Pak podle stavové rovnice bude platit



A tato rovnost bude platit pro vsechy hustoty a tlaky. Tohle jsou věci, co se dají ještě spočítat bez nutnosti znát geometrii nádoby.

Tlak ale nemuze byt vsude neustale stejny. Prave protoze se nejedna o rovnovazny stav tak se bude s casem menit, dokud nedospeje do rovnavazneho stavu. Rovnice pro popis toho proudeni tedy bude toto (neuvazuju viskozitu nebo vnejsi sily jako gravitaci apod.)



Jeste je potreba vzit rovnici kontinuity



Jeste by musela byt pridana treti rovnice, pokud by se nejak menila hustota. Typiycky rovnice zavilosti hustoty na tlaku. Pokud je to proudeni pomale pak se muze uvazovat, ze se jedna o izotermicky dej, jinak adiabaticky.

Vyse uvedene rovnice musi byt splneny pro kazdy bod nadoby a skutecne dojde k velkym rozdilum jestli nadoba bude kulova nebo krychle. Prurezy otvoru se meni, takze nutne musime pouzit pri nejjednodusim nadobu tvaru kuzele. Nejakym zpusobem ta geometrie nadoby zkratka musi byt uspusobena, aby proud presel z prumeru S1 do prumeru S2. To největší zjednodušení, jaké si lze představit je nádoba tvaru kužele. Pak bych si to vohodně popsal pomocí sferických souřadnic se středem ve vrcholu toho kužele. A výše uvedené rovnice díky symetriím dostanou jednodušší tvar (první z nich nebude vektorová trojce rovnice, ale zůstane jen jedna)

↑ pietro:

Ahoj. Pokud velké V jsou objemy, tak mi není jasné, proč tam jsou tři (V, V0, V2). Patrně jsou V2 a V0 zde chápány jako objemy vzduchu, který se chystá protéci otvorem a fyzikální význam nabyde až jeho časová derivace (rovna objemovému toku). Tak to asi ok. Ale třetí rovnice (pdV + Vdp = 0) sedí na izotermický děj, nikoli adiabatický. Už jen předpokladem, že na obou otvorech je stejná teplota. Ona tam klidně být stejná teplota může jako okrajová podmínka, to je však ještě větší hnůj. Lépe nedávat podmínku na teplotu na druhém konci - nemá to vliv na jednoznačnost řešení. Pokud by tam teplotu chtěli mít nějakou přímou, docházelo by ještě k tepelným tokům pro to, aby teploty odpovídaly okrajovím podmínkám a ještě by se nám tam zamíchala rovnice vedení tepla.

Příklad si řešil v jistém zjednodušení, že v celé nádobě panuje jednotný tlak, hustota a teplota. Ve skutečnosti, bude bod od bodu se v nádobě tlak a ostatní veličiny průběžně měnit. A to jak v prostoru, tak i v čase, pokud ještě nemáme rovnováhu. Bude to tedy pěkný námel PDR.