Matematické Fórum

paulxxx

Pre ktore "n" siedmy clen binomického rozvoja výrazu $(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x})^n$ nezávisí od x ?
Pre n=?
dik za odpoved

lukaszh · 16. 06. 2008 09:37

Myslim, ze riesenie by mohlo byt takto:
Napisem ti vzorec pre k-ty clen rozvoja:
$A_k={n\choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}$ , kde za k dosadis 7. Dostanes tak siedmy clen:
$A_7={n\choose 6}\frac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{n-6}}{x^{6}}$ .
Na to aby bol nezavisly od x, treba ho vykratit a zostane iba nejake cislo, bez premennej. (Aspon myslim :-)
Potom cislo n nad 6 zostane, no musime odtial dostat prec to x:
$\frac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{n-6}}{x^{6}}=1\nl x^{\frac{n-6}{3}}=x^{6}\nl \frac{n-6}{3}=6\quad\Rightarrow\quad n=24$ . Takze neviem ci je to dobre ale aspon nieco...

paulxxx · 16. 06. 2008 10:27

↑ lukaszh:
vysledok mas spravny (24), ale nechapem kde sa stratilo ${n\choose%206}$ resp. preco si dal na druhu stranu cislo 1 ....?

lukaszh · 16. 06. 2008 13:20

↑ paulxxx:
Zo zadania mas: clen nezavisly od x. Pod tym ${n\choose 6}$ si predstav nejake číslo. Napriklad ${5\choose 1}=5$ . Je to číslo, ktoré nie je ovplyvnené nijakou premennou x,y, z ani nijakou inou, je to proste cislo. To mas tak, ako keby z císel 5x, 6x, 7, 8x, 15x, ktore neovplyvnuje hodnota x? no je to 7 pretoze len pri nej nie je x. Preto sa nenachaza ani v tej rovnici, lebo sa v nom nenachadza x.
Teraz preco sa to rovna 1. No preto, lebo tu jednotku tam potrebujeme dostat. Ty potrebujes násjt taku hodnotu n pre ktoru sa v siedmom clene rozvoja nebude nachadzat x. To docieliš tým, že ho vykratis. ked vykratis x dostanes 1. Napr: $\frac{5^{n}}{5}$ . Kedze potrebujeme najst take n aby sa hodnota 5 vykratila, postupujeme ako v priklade. Je zrejme, ze je to len pre n=1, ale ako to vyriesit? Ked nieco vykratis dostanes jednotku. Napr: $\frac{3}{3}=1$ , kratil si citatela aj menovatela. Teraz spat k prikladu:
$\frac{5^{n}}{5}=1\nl 5^{n}=5^{1}\nl n=1$ . Je to rovnake ako v priklade, len namiesto 5 mas x a pracujes len s premennymi.

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2008 23:56 — Editoval paulxxx (16. 06. 2008 00:07)

binomicka veta

#2 16. 06. 2008 09:37

Re: binomicka veta

#3 16. 06. 2008 10:27

Re: binomicka veta

#4 16. 06. 2008 13:20

Re: binomicka veta

Zápatí