Matematické Fórum

BakyX · 24. 07. 2011 18:36

Zdravím..Existuje pre kladné reálne navzájom rôzne čísla $x,y$ silnejší odhad ako

$x+y \ge 2 \sqrt{xy}$

tj existuje nejaké kladné reálne číslo $k$ také, že pre VŠETKY DVOJICE navzájom rôznych kladných reálnych čísel $x,y$ platí:

$x+y \ge 2 \sqrt{xy}+k$

Je mi jasné, že ak pripustíme rovnosť $x=y$ , tak také číslo $k$ neexistuje a je to ľahko dokazáteľné

Tiež si myslím, že také reálne číslo $k$ neexistuje, aj keď $x \neq y$ , ale akosi sa mi nedarí to elegantne dokazať.

V prípade, že pripustíme $x=y$ stačí dosadiť $x=y=1$ a hneď dôjdeme ku sporu.

Je ale zrejme, že v prípade $x \neq y$ nikdy nedostanem odhad $0 \ge k$

Ďakujem za pomoc :)

musixx · 24. 07. 2011 19:18

Pokud z nějakých důvodů trváš na $x\neq y$ , tak sporem předpokládejme, že takové $k$ existuje a vemme $x=2k$ a $y=\frac k2$ . Spor s existencí takového $k$ pak dává vzniklá nepravda $2,5k\geq 3k$ .

BakyX · 24. 07. 2011 20:26

↑ musixx:

Ďakujem

Matematické Fórum

#1 24. 07. 2011 18:36

Silnejší odhad ako AG

#2 24. 07. 2011 19:18

Re: Silnejší odhad ako AG

#3 24. 07. 2011 20:26

Re: Silnejší odhad ako AG

Zápatí