Matematické Fórum

petronius

Dobry vecer.
Chcel by som sa spytat ci neexistuje nejaky efektivnejsi sposob riesenia tohto problemu (este podotknem ze bod v ktorom mame vyratat potencialnu energiu je vo vzdialenosti a/2 od stredu stvorca a stvorec je v podstate drot cize ratame len po obvode co vsak postup predpokladam moc nemeni a moj postup plati pre potencial potom energia uz je relativne jednoducha) ako cez kartezianske suradnice prvy integral (trebars dx/ je este zvladnutelny dostanem logaritmus (cez hyperbolicke funkcie)no dalsie integrovanie (tentokrat cez dy) mi prinesie naozaj obludne per partes...a wolfram mi ho vyratal tak na par skaredych riadkov (Eulerove substitucie delenie polynomu polynomom su len ceresnicky na torte) ak by ste nasli nejaky efektivnejsi sposob bolo by to skvele.

petronius

↑ petronius:

Prepacte samozrejme ze sa jedna o potencialnu energiu elektrickeho pola...moja chyba.

pietro · 27. 07. 2011 11:27

↑ petronius: Ahoj, posielam ku téme niečo z tohoto konca...

http://fyzikalniulohy.cz/uloha_443

petronius

↑ pietro:

Tym prikladom rozumiem no naboj je rovnomerne rozlozeny po odvode stvorca a neviem si rady s tym ako to mam preintegrovat kedze vzdialenost od bodu sa meni...je ina od bodu v strede strany a ina od bodu v rohu...viem to zohladnit len v uvedenej integracii ktora ako som uz povedal nie je jednoducha...iny sposob ma nenapada a kedze ten priklad nie je oznaceny ako narocnejsi malo by existovat jednoduchsie riesenie...v kazdom pripade dakujem za link keby ma nieco napadlo napisem.Este jedna vec nie je to nekonecna rovina s tym problem nemam.

pietro · 27. 07. 2011 14:44 — Editoval pietro (27. 07. 2011 14:44)

↑ petronius: Takže drôt=úsečka, to zn. 4 rôzne orientované úsečky a každej vypočítať zvlášť intenzitu v žiadanom bode a na záver 4 vektory sčítať....

petronius

↑ pietro:

Cize spravit integral len podla jednej premennej?v tom pripade by to bol teda vysledok toho prveho integralu teda 4 krat logaritmus co mi vysiel z prvej integracie?Lebo v podstate sa vsetky smery vyrusia a zostane len jeden nie prave na spojnici stredu stvorca s bodom? Priklad je zadany tak ze mam vyratat potencionalnu energiu v strede kocky vs dlzkou hrany a na ktorej je naboj q ked v strede je bodovy naboj Q.

Rumburak

↑ petronius:

Mnoho jednoznačných podrobností o zadání ani o svém postupu neuvádíš, takže konkretní rada je obtížná. Tedy obecně:

Potenciální energie (dále PE) tělesa (resp. hmotného bodu, náboje a pod.) v silovém poli bývá vztažena k nějaké přiměřeně zvolené ekvipotenciální
hladině. Například družice na oběžné dráze okolo Země má v daném bodě své dráhy určitou PE vůči hladině moře, předmět zavěšený u stropu
místnosti má nějakou PE vůči podlaze a podobně. V Tvé úloze je jakýmsi způsobem popsáno elektrostatické pole generované zřejmě nábojem q
rovnoměrně rozloženým na skeletu (=hranách) krychle a zajímá nás patrně jakási PE náboje Q (dejme tomu, že opačného znaménka, než q)
umístěného ve středu S krychle. Chceme-li, můžeme si domyslet, že PE vztahujeme ke skeletu krychle, který je zřejmě ekvipotenciální hladinou.
Jde tedy o to spočíst práci, kterou by bylo nutno vykonat k přemístění náboje Q ze skeletu krychle do středu S téže krychle. Počáteční bod A
takové dráhy musí ležet na skeletu krychle, ale více na jeho poloze nezáleří. Rovněž nezáleží na tvaru dráhy. Jde o to, zvolit dráhu z A do S tak,
aby se příslušný kříivkový integrál počítal co nejpohodlněji. Za bod A bych si zvolil některý z vrcholů krychle a hypotetické "přemístění" náboje
z bodu A do S bych realisoval po úsečce, která je polovinou tělesové úhlopříčky krychle (aby se využila určitá symetrie krychle). Ale netvrdím,
že se nedá nalézt nic lepšího, například nějaká vhodně volená lomená čára. Rovněž si nejsem jist, zda jsem zadání úlohy z Tvých průběžných
a útržkovitých zpráv správně rozluštil.

petronius · 28. 07. 2011 11:33

↑ Rumburak:

Zadanie je mozno trochu neprehladne ospravedlnujem sa za neho... na hranach kocky /so stranou a / je naboj q vypocitajte potecialnu energiu bodoveho naboja Q v strede kocky.Urcitu logiku v tom vidim no neviem si predstavit ten Vas postup.

Rumburak

↑ petronius:

Takže zadání jsem pochopil správně (viz závěrečná POZNÁMKA).

Střed krychle umístěme do počátku, jejími vrcholy nechť jsou $\left[\pm\frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2} , \pm\frac{a}{2} \right]$ (všechny variace znamének jsou přípustné),
jeden z nich je A, např. $A =\left[\frac{a}{2}, \frac{a}{2} , \frac{a}{2} \right]$ .

V obecném bodě $X$ uvnitř krychle najdeme výslednici $\vec{F}(X)$ sil, které by působily na náboj Q, pokud by byl umístěn v bodě X.
K tomu bude potřeba spočítat 12 jistých integrálů přes jednotlivé hrany krychle (bude to de facto jeden integrál ve dvanácti obměnách).
Podle tvaru funkce $\vec{F}(X)$ se rozhodneme pro integrační cestu v (1) - viz níže - tak, aby byla výhodná pro výpočet integrálu.

Dejme tomu, že jako s integrační cestou se spokojíme s úsečkou AS. Vyjádříme ji parametricky - a rovnou tak, aby parametrem $s$
byla délka oblouku měřena od A (parametrisace křivky obloukem).

Nakonec spočteme práci

(1) $W = \int_A^S \vec{F(X(s)})\, \mathrm{d}\vec{s}$ ,

což bude výsledek .

Ale je možné, že existuje lepší postup, dokonce si nejsem jist, zda ten můj je úplně správný. Počkal bych ještě na případné další ohlasy.

(POZNÁMKA. Vztažná ekvipotenciální hladina ale zadána nebyla, že to bude skelet krychle, jsem si domyslel. Mohl jsem si jako vztažnou
ekvipotenciální hladinu "domyslet" tu, která prochází středem krychle, a pak by bylo řešení podstatně jednodušší. :-) )

medvidek

Úloha mi příde těžká, nebo špatně zadaná.

Problém vidím v tom, že
a) pokud je skelet krychle vodivý, bude sice představovat ekvipotenciální hladinu, ale nebude na něm rovnoměrně rozložený náboj,
b) pokud je skelet krychle nevodivý, může na něm být rovnoměrně rozložený náboj, ale pak nebude ekvipotenciální hladinou.

Tak jak?

Edit:
Možná by pomohlo uvést přesně původní zadání.

petronius

↑ medvidek:
posielam teda povodne zadanie:
Na hranach telesa tvaru kocky so stranou a je rovnomerne rozlozeny naboj q.Urcte potencialnu energiu bodoveho naboja Q ulozeneho v strede kocky.Kocka i naboj su vo vakuu.
Dakujem samozrejme za vase postupy.
P.S. Chapem ze nespravne zadanie je prinajmensom nespravny vysledok prinajhorsom zabity cas...no obcas to cloveku nemysli ked si rata priklady do noci.

zdenek1 · 29. 07. 2011 00:07

↑ petronius:

Potenciál nabité úsečky s délkovou hustotou náboje $\tau$ bude ve vzdálenosti $y$ od středu (obrázek)
$\varphi=k\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2} \frac{\text dq}r$ , kde $\text dq=\tau\text dx$ a $r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\varphi=k\tau\int\limits_{-\frac a2}^{\frac a2}\frac{\text dx}{\sqrt{x^2+y^2}}=k\tau\ln[2(\sqrt{x^2+y^2}+x)]_{-\frac a2}^{\frac a2}$

Vzhledem k tomu, že v našem případě je $y=\frac{\sqrt2a}2$
dostáváme
$\varphi=k\tau\ln(2+\sqrt3)$
Takových úseček je 12 a potenciál se normálně skalárně sčítá, takže potenciál $\varphi_S$ ve středu krychle je

$\varphi_S=12k\tau\ln(2+\sqrt3)$

Náboj $q$ je rovnoměrně rozložený na délce $12a$ , tj. $\tau=\frac q{12a}$ , $\varphi_S=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac qa\ln(2+\sqrt3)$

Potenciální energie je pak $E_p=Q\varphi_S$

medvidek · 29. 07. 2011 07:53

Upřesnění zadání pomohlo. Ale hlavně Zdenek1 :-)

petronius · 29. 07. 2011 14:42

↑ medvidek:

Skvele.Tomuto postupu bez problemov rozumiem.Dakujem vam a som rad ze keby nahodou bol nejaky iny / pre mna nepochopitelny / priklad mozem sa na vas obratit.

Matematické Fórum

#1 27. 07. 2011 01:35 — Editoval petronius (27. 07. 2011 02:10)

Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#2 27. 07. 2011 02:00 — Editoval petronius (27. 07. 2011 02:03)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#3 27. 07. 2011 11:27

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#4 27. 07. 2011 14:34 — Editoval petronius (27. 07. 2011 14:36)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#5 27. 07. 2011 14:44 — Editoval pietro (27. 07. 2011 14:44)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#6 27. 07. 2011 17:48 — Editoval petronius (27. 07. 2011 18:28)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#7 28. 07. 2011 10:41 — Editoval Rumburak (28. 07. 2011 12:50)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#8 28. 07. 2011 11:33

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#9 28. 07. 2011 12:31 — Editoval Rumburak (29. 07. 2011 09:34)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#10 28. 07. 2011 16:11 — Editoval medvidek (28. 07. 2011 16:12)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#11 28. 07. 2011 20:36 — Editoval petronius (28. 07. 2011 20:38)

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#12 29. 07. 2011 00:07

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#13 29. 07. 2011 07:53

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

#14 29. 07. 2011 14:42

Re: Potencial od dosky tvaru stvorca so stranou a/2 vo vzdialenosti a/2

Zápatí