Matematické Fórum

Anonymystik · 24. 06. 2011 22:25

Zamýšlel jsem se nad tím, co se vlastně učíme na ZŠ a SŠ v geometrické optice a zjistil jsem, že mám řadu nezodpovězených otázek. Začal jsem u zrcadel a zamýšlel jsem se nad tím, co to vlastně je zrcadlo a k čemu slouží. Je to nějaká opticky reflektivní (odrazná) plocha, jejíž princip je ten, že dopadne-li na ni paprsek, pak se musí odrazit podle zákona odrazu (úhel dopadu = úhel odrazu). U rovinných zrcadel je zřejmé, jak tento odražený paprsek najít, neboť snadno umíme sestrojit úhel dopadu. U zakřivených zrcadel (kulová, parabolická apod.) je situace horší, neboť nejprve musím sestrojit tečnu k zrcadlové ploše v bodě, kam dopadá paprsek, abych mohl úhel odrazu vůbec sestrojit. U kulových zrcadel i parabolických lze tečnu ale i tak relativně snadno sestrojit.
A teď jiná - další zásadní otázka: k čemu vlastně zrcadlo slouží? No slouží k tomu, abychom mohli libovolný objekt, který je odstíněn jiným objektem, který nám brání ve výhledu, vidět prostřednictvím zrcadla - odrazné plochy k tomu určené. V mé úvaze tuto překážku můžeme klidně vypustit a zjednodušit účel - při pohledu do zrcadla vidíme jakýsi odraz objektu a zdá se nám, že daná věc za zrcadlem určitě je, ačkoliv tam ve skutečnosti vůbec není. Rovinné zrcadlo má navíc jednu velmi zajímavou schopnost - svět za zrcadlem existuje objektivně - tj. nezávisle na poloze pozorovatele. Ať už oko ve svém náčrtku umístíme kamkoliv, tak pozorujeme-li odraz paprsku jdoucího z žárovky, tak obraz žárovky bude vždy na stejném místě. Tato vlastnost se asi mlčky předpokládá i u jiných typů zrcadel, jako jsou např. kulová. Je ale docela snadné najít protipříklad, že tomu tak není. Stačí vzít dvě různé polohy oka a vidíme, že obrazy žárovek za zrcadlem se liší. Takže neexistuje obecně pro zakřivená zrcadla jakási "objektivní říše za zrcadlem" - záleží na úhlu pohledu, na poloze oka. To není nic zase tak překvapivého, ale co už mi připadá divné, je toto: http://www.ucebnice.krynicky.cz/Fyzika/ … adlo_I.pdf
Jedná se o příklady dole, kde konstruujeme odraz svíčky. Máme svíčku a její obraz. Ale ten obraz je přeci závislý na poloze oka. A kde je v obrázku znázorněno oko? Nikde. A tohle není jenom problém této učebnice, úplně stejně jsme se to učili na ZŠ a SŠ. Co jsme to teda vlastně zkonstruovali? A jakou mám vlastně jistotu, že všechny paprsky vycházející z plamínku svíčky (rozbíhající se do různých stran) se odrazí od zrcadla a pak se zase spojí do jediného bodu, což bude obraz plamínku? Žádnou! Tvzení totiž matematicky vzato vůbec neplatí. Existuje totiž jen jeden paprsek, který jde z plamínku do domnělého odrazu plamínku. Všechny ostatní paprsky jdou šejdrem. Aby obrázek vypadal autenticky, je nakreslen tak, že tam všechny paprsky opravdu jdou, jenže drtivá většina z nich nesplňuje zákon odrazu. Jsem totálně zmatený. (A to navíc beru v potaz jenom geometrickou optiku tj. předpokládám, že světlo je proud fotonů a ne elmag. vlnění, kde se situace dál komplikuje). Dokážete mi toto vysvětlit? Díky za každou smysluplnou odpověď.

Anonymystik

↑ Anonymystik: Přidávám sem to, o čem jsem mluvil - tj. náčrtek jakési "objektivní říše za zrcadlem" - nezáleží na to, odkud se dívám.

Pavel Brožek

↑ Anonymystik:

Pokud vím, tak:

V optice tak, jak se probírá na střední škole, se u zrcadel a čoček uvažují jen paraxiální paprsky, tj. paprsky, které s osou svírají velmi malý úhel (správněji řečeno musíme provést limitu, kde úhel mezi paprskem a osou jde do nuly). Vysvětluje to všechny tvé otázky?

Edit: Pro malé úhly vše, co se odvodí, pak platí jen přibližně (tj. např. obraz nebude přesně v bodě, který spočteme, ale většina paprsků „vyslaných“ z předmětu bude procházet velmi blízko vypočítané polohy obrazu.

Anonymystik

↑ Pavel Brožek: Dobrá. Kulové zrcadlo je symetrické podle nekonečně mnoha os. Kterou z nich mám brát jako tu optickou? Osu střed-objekt, nebo střed-oko, nebo kterou? A kromě toho - já jsem chtěl svůj problém trochu zobecnit na obecně libovolně zakřivené zrcadlo, kde paprsky dopadají pod libovolným úhlem (tj. nejen paraxiálně). A tento problém nejsem schopen vyřešit.
Jinak díky za odpověď.

Peta8 · 24. 06. 2011 23:26

Optická osa u kulového zrcadla prochází středem (koule).
Jinak jsem nějak nepochopil, na co se vlastně ptáš. Co Ti přesně není jasné?

zdenek1 · 24. 06. 2011 23:28

↑ Anonymystik:

Anonymystik napsal(a):
Kulové zrcadlo je symetrické podle nekonečně mnoha os.

Ale to není pravda. To, že se tomu říká "kulové zrcadlo" neznamená, že je to koule. Je to kulový vrchlík. A ten má osu symetrie jen jednu.

Pavel Brožek

↑ Anonymystik:

Můžeš si vybrat libovolnou. Ale tvé volbě bude odpovídat také přesnost, s jakou určíš polohu obrazu. Pro co nejlepší přesnost bys měl volit takovou osu, aby procházela blízko předmětu. Ideálně by měl předmět ležet na optické ose (pak bys nemohl použít ty význačné paprsky pro konstrukci obrazu, to je ale jen technický problém). (Edit: Ale i když určíš polohu obrazu přesně, tak to stále neznamená, že tudy budou procházet „neparaxiální“ paprsky!)

Co se týče zobecnění na libovolně zakřivené zrcadlo – to asi nepůjde. Kulová, dutá, parabolická a kdovíjaká ještě zrcadla jsou zajímavá tím, že se dají u vrcholu aproximovat paraboloidem (tj. funkcí $x=C_1-C_2(y^2+z^2)$ ). Jestli se nepletu, tak právě tato vlastnost způsobuje to, že se všechny odražené paraxiální paprsky protnou v jednom bodě (resp. by se protly, kdybychom je prodloužili do přímky).

I když vezmeš jednoduché kulové zrcadlo a uvažuješ paprsky, které nejsou paraxiální, tak už dostáváš vady zobrazení a není to vůbec jednoduché.

Peta8 · 24. 06. 2011 23:36

↑ zdenek1:

To může být i koule. Třeba s dětma (když nenajdu lžíci) koukáme do Van de Graaffova generátoru.

Anonymystik

↑ Pavel Brožek: Víš, je v tom skryt jeden zajímavý konstrukční geometrický problém. Uvaž, že máš vypuklé kulové zrcadlo a bodový zdroj světla. Odtud vychází paprsek, odráží se (podle zákonu odrazu) od zrcadla a dopadá do tvého oka. Ty máš dáno zrcadlo, polohu oka a polohu zdroje světla a máš určit bod na zrcadle, kde se paprsek odráží. Zjednodušeno do 2D - samozřejmě. A já to nejsem konstrukčně schopen vyřešit.

jelena · 09. 07. 2011 08:37

↑ Anonymystik:

Zdravím,

nalezeno při úklidu. Jelikož jsi v geometrických konstrukcích hodně daleko, nejsem si jistá, zda bych uměla pomoc.

Tak, jak máš formulováno v předchozím příspěvku, bych předpokládala, že v místě dopadu paprsku na kulovou plochu má být sestrojena tečná rovina (v 2D - tečna k oblouku). Pokud mám pevně dán zdroj a oko, potom nemusí odražený paprsek "oko najít", ale v tom asi konstrukční problém není.

Pokud to je ještě aktuální, upřesně prosím, zda se podařilo, případně jak jsi úlohu formuloval konstrukčně. Děkuji.

pietro · 19. 07. 2011 18:06

↑ Anonymystik: Mám taký dojem, že rovinné zrkadlá vznikli v dôsledku evolúcie hmoty a sú hlavne využívané dominantnejšou časťou populácie. :-)

MartinKr · 22. 07. 2011 00:18

↑ Anonymystik:
Z Tvého přípsěvku se nedá úplně přesně poznat v čem je problém. Každopádně se zdá, že pleteš dohromady dvě různé věci. Obraz, roviného zrcadla je nereálný. Ačkoliv se na Tvém obrázku zdá, že paprsek vychází všem očím ze stejného místa, ve skutečnost za zrcadlem žádné paprsky nejsou. Když tam položíš fotografický papír (nebo dneska CMOS čip) zešedne, ale žádný obraz se tam neudělá.
U dutého zrcadla jde o něco jiného. Ty paprsky se ve vyznačených místech (přibližně) potkávají. I u toho kulového zrcadla (a žádné reálné parabolické taky není dokonale parabolické) jsou v tom nalezeném místě k sobě v průměru nejbliž (u dokonalého zrcadla přesně v jednom bodě). Čím víc se od toho místa vzdalujeme, tím víc se paprsky rozcházejí a obraz se rozostřuje. Každopádně ten obraz je reálný, protože paprsky se tam doopravdy (téměř) scházejí a pokud tam dáš papír, obrázek se na něm udělá. Z jakého místa se na to podíváš nehraje roli, paprsky se sejdou stejně. Pokud bude plamínek dál od nakreslené osy, potkají se dál, ale na tom, že místo potkání je objektivní závislé jen na poloze plamínku a zrcadla se nic nemění.
Na www.realisticky.cz je nová verze učebnice, ten začátek je trochu předělaný. Doporučuju číst od hodiny 5201. Pokud to nebude stačit, tak se ozvi s tím, kde to přestává být jasné.
Hledání místa odrazu toho u kulového zrcadla jediného správného paprsku je zase jiný geometrický problém. Který jsem za čtvrt hodiny nebyl schopen vyřešit. Na předchozím to však nic nemění a určitě by se to dalo velmi rychle oditerovat.

medvidek · 27. 07. 2011 01:43

Díky ↑ MartinKr: za pěkný příspěvek.
Něco podobného jsem zamýšlel napsat, ale vůbec není jisté, zda by k tomu nakonec došlo :o)

Musím dodat, že pojmy virtuální obraz a skutečný obraz matou nemálo lidí. Třeba je zajímavé, že virtuální obraz obvykle "vidíme" bez jakýchkoli optických pomůcek, zatímco k tomu, abychom uviděli skutečný obraz, většinou potřebujeme stínítko, matnici, nebo např. CMOS čip.

Abych to přitvrdil, řeknu následující: Virtuální obraz nelze vidět.
Co to tedy je, co vidíme při pohledu do zrcadla nebo na kouli na vánočním stromku? Vždyť to lze i normálně vyfotit, natožpak vidět! To mé tvrzení prosím neberte absolutně. Pokusím se o vysvětlení. Myslím, že do optické soustavy by se mělo započítavat i lidské oko (nebo použitý fotopřístroj a pod.). Teprve za čočkou oka mohou vznikat obrazy, které vnímáme (a které pokud se promítnou do roviny sítnice, vidíme ostře). Na sítnici máme skutečný obraz, i když se díváme na virtuání obraz. Body předmětu se promítají na body na sítnici. Čočka našeho oka je tedy dalším doplňujícím členem optické zobrazovací soustavy. Nebýt této spojné čočky, rozbíhavé paprsky virtuálního obrazu by se nadále rozbíhaly a nikde by se neprotnuly. Optické soustavy s virtuálním obrazem bychom mohli chápat jako soustavy zobrazovací, ale ve výše uvedeném kontextu neúplné.

A jak například můžeme definovat zvětšení lupy, přiblížení dalekohledu, či převracení optické soustavy? Třeba tak, že porovnáme obraz předmětu na sítnici, který vznikne při pohledu přes optickou soustavu, s obrazem, který na sítnici vznikne při pohledu prostým okem.
Doufám jen, že bych dospěl ke známým "papouškovacím" vztahům ze střední školy, kdybych to začal počítat.

medvidek · 27. 07. 2011 02:51

A na tu geometrickou konstrukci z příspěvku #10 jsem také nepřišel. Třeba nějaký matematik při pohledu na následující obrázek rovnou řekne, že to nejde. Výpočtem to vede na kvartickou rovnici - průnik resp. dotek koule a elipsoidu (v 2D kružnice a elipsy).

Body $A, B, S$ a poloměr kružnice jsou pevně dané. Je potřeba najít bod $T$ doteku kružnice a elipsy s ohnisky $A, B$ .
Právě tehdy je $\alpha = \beta$ .

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2011 22:25

Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#2 24. 06. 2011 22:27 — Editoval Anonymystik (24. 06. 2011 22:28)

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#3 24. 06. 2011 22:37 — Editoval Pavel Brožek (24. 06. 2011 22:43)

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#4 24. 06. 2011 22:44 — Editoval Anonymystik (24. 06. 2011 22:45)

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#5 24. 06. 2011 23:26

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#6 24. 06. 2011 23:28

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

Anonymystik napsal(a):

#7 24. 06. 2011 23:29 — Editoval Pavel Brožek (24. 06. 2011 23:33)

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#8 24. 06. 2011 23:36

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#9 24. 06. 2011 23:48 Příspěvek uživatele Anonymystik byl skryt uživatelem Anonymystik. Důvod: Už jste odpověděli, než jsem stačil zareagovat.

#10 24. 06. 2011 23:56 — Editoval Anonymystik (24. 06. 2011 23:58)

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#11 09. 07. 2011 08:37

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#12 19. 07. 2011 18:06

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#13 22. 07. 2011 00:18

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#14 27. 07. 2011 01:43

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

#15 27. 07. 2011 02:51

Re: Trochu netradiční pohled na geometrickou optiku

Zápatí